Юрашев Виталий Викторович к. ф.-м. н., научный руководитель фирмы «Градиент»

Шелест Игорь Владимирович системный архитектор «Инфосистемы Джет»

Прогноз в бизнесе важен из-за возможного использования его для эффекта стабилизации. Разумные прогнозы побуждают людей действовать более рационально и предупреждают их «сверхреакцию» в сторону пессимизма или оптимизма. Хороший прогноз обеспечивает фирме принятие рациональных решений относительно производимых фирмой товаров или услуг. Отсутствие прогноза заставляет руководство фирмы предпринимать излишние меры предосторожности.

Методы прогноза обычно требуют больших затрат времени и денег. Однако бизнесмен нуждается в методах, которые не требуют сложных умозаключений в повседневной работе и могут быть представлены в виде программ. Необходимо найти методы прогнозирования без детального индивидуального анализа. К тому же желательно, чтобы знания ситуации на рынке, которыми обладают люди, постоянно работающие на нем, были использованы в подобных моделях.

Поскольку прогнозирование является трудной проблемой, то очевидно, что фирма должна иметь несколько серий прогнозов, отличных от простого описательного прогноза. Это поможет принимать более решительные действия, результатом которых является рост прибыли, повышение эффективности работы организации и роста ее престижа.

Исходные данные для составления прогноза с использованием временных рядов обычно представляют собой результаты выборочных наблюдений переменных - либо интенсивности (например, спрос на продукцию), либо состояния (например, цена). Решения, которые должны приниматься в данный момент, скажутся в дальнейшем по прошествии некоторого промежутка времени, величина которого может быть прогнозируемой.

Временные ряды представляют собой упорядоченные во времени данные. В соответствии с этим мы будем впредь обозначать период времени через t, а соответствующее ему значение данных через y(t). Отметим, что членами временного ряда являются либо суммы, либо числовая информация, полученная в определенный момент времени. Например, сумма недельных продаж в магазине, получаемая в конце каждой недели в течение года, образует временной ряд.

Тренд означает общее направление и динамику временного ряда. В этом определении ударение делается на понятии «общее направление», поскольку основную тенденцию необходимо отделить от краткосрочных колебаний, представляющих собой циклические и сезонные колебания. Примеры циклических колебаний: цены на промышленное сырье, курсы акций, объемы продаж в оптовой и розничной торговле и др. Сезонные колебания встречаются во временных рядах, описывающих продажи, производство, занятость и др. Важную роль в сезонных колебаниях играют погодные условия, мода, стиль и т. д. Особо отметим, что нерегулярные или случайные колебания временных рядов не подчиняются никакой закономерности и не существует теории, способной предсказать их поведение.

С точки зрения выработки правильного решения руководством фирмы, включение периодических (циклических и сезонных) колебаний в общую модель может повысить эффективность прогноза и позволит предсказать ожидаемые высокие и низкие значения прогнозируемых переменных. При этом нужно иметь в виду, что «деловые» или экономические циклы нельзя воспроизвести с точностью, позволяющей на практике делать выводы о будущих подъемах и спадах, исходя из анализа прошлого.

В работе представлены линейный, циклический и «экспоненциальный» тренды. Несколько слов об экспоненциальном тренде. Анализ жизненного цикла товаров, услуг, инноваций и размышления о процессах, происходящих вокруг, показали, что модель развития и гибели биологических систем является эффективным инструментом для изучения многих явлений в бизнесе. Причем как и в бизнесе, показатели функционирования биологической системы во времени не линейны на всех этапах ее развития. Были промоделированы упомянутые выше жизненные циклы, и было установлено, что их эластичность по времени является линейной функцией. Коэффициенты этой функции позволяют учитывать не только нелинейные механизмы жизненных циклов, но и прогнозировать их появление. В результате мы получили тренд,который назвали «экспоненциальным», поскольку в него входит временная экспонента.

Рассмотрим временной ряд y(1), y(2),...(y(i),...y(T). Требуется представить функцию, для которой задан этот ряд, тригонометрическим полиномом. Периодические компоненты полинома неизвестны. Достоинство такой модели состоит в том, что она обеспечивает стабильность прогноза за счет перебора частот. Коэффициенты вычисляются с использованием всего набора данных.

На практике подобная модель оказывается сложной для пользователя. Поэтому была разработана компьютерная программа. Проверка на соответствие предыстории проводится по методу наименьших квадратов (см.: Таха А. Исследование операций. М.: Вильямс, 2005). Во многих случаях изменения в изучаемом процессе можно предвидеть заранее и включить их в представленную модель прогноза. Ведь опытные руководители могут предсказать характер изменений. В программе заложено согласование трендов за счет оптимального выбора частот в представленном ряде. Для корректировки прогноза можно варьировать не только тренды, но и учитывать результаты субъективного прогноза.

Будем искать тренд в виде: Y(t) = C + Asin(wt) + Bcos(wt).

Поскольку значения этой функции в точках 1, 2, ... Т известны, то мы получаем систему из Т линейных уравнений относительно коэффициентов А, В, С, w - параметр.

Решаем эту систему методом наименьших квадратов (Т>3) и получаем значения коэффициентов А, В, С, зависящих от w. Необходимо выбрать значения w таким образом, чтобы значения тренда наилучшим образом приближались бы к значениям временного ряда. Оптимизация проводится методом последовательных приближений. Первоначальное значение w, которое является началом последовательных приближений, находится по формулам, представленным, например, в справочнике по математике авторов Г. Корн, Т. Корн, (М.: Наука, 1989. Гл. 20).

Вычитаем из фактических (т. е. заданных изначально в виде членов временного ряда) значений y(1), y(2),...y(i),....y(t) найденные теоретические значения y(t) в моменты времени t =1, 2,...,i,...Т. Для полученных данных (считая их фактическими, т. е. членами временного ряда) повторяем указанную выше процедуру.

Точность прогноза 1-3%, колеблется иногда до 5-10%. Все зависит от наличия шумов, которые могут существенно повлиять на прогноз. Если ретроспективный ряд большой, то программа хорошо выделяет регулярные составляющие процесса. При незначительном временном ряде ретроспективы (до 5-8 значений) нужно пользоваться экспоненциальным сглаживанием. В основе метода экспоненциального сглаживания лежит скользящая средняя. Но он устраняет недостаток метода скользящей средней, который состоит в том, что все данные, используемые для вычисления среднего, имеют одинаковый вес. В частности, метод экспоненциального сглаживания присваивает больший весовой коэффициент самому последнему наблюдению. Он, также как и метод, представленный в этой работе, особенно эффективен при прогнозе временных рядов с циклическими колебаниями без сильных случайных колебаний (см.: Таха А. Исследование операций).

Приведем пример расчета прогнозируемого объема продаж (табл. 1, 2).

Таблица 1. Исходные данные

Таблица 2. Расчет прогноза с использованием синусоидального тренда

Результаты расчета представлены в виде графиков на рисунке 1(теоретическая функция – черный штрих, исходные данные – черный цвет, тренд – серый цвет).

Рис. 1. Расчет прогнозируемого объема продаж по синусоидальному тренду

Приведем пример использования экспоненциального тренда для расчета прогноза сбыта.

В данном примере рассмотрено изменение объема продаж во время и после рекламной кампании (табл. 3, 4).

Таблица 3. Исходные данные

Таблица 4. Расчет прогноза с использованием экспоненциального тренда

Результаты расчета представлены в виде графиков на рисунке 2 (теоретическая функция - серый штрих, исходные данные - черный цвет, тренд - серый цвет).

Рис. 2. Расчет прогнозируемого объема продаж по экспоненциальному тренду

Разработанный нами программный продукт, адаптированный для работы в конкретных условиях, обладает универсальностью, надежностью и устойчивостью к изменению условий. Кроме того, и это существенно, можно увеличить число решаемых задач. Так, например, при прогнозировании объемов продаж можно решить проблему влияния каждого показателя (рекламы, выставок, интернета) на величину прибыли.

Одно из достоинств проекта - его дешевизна. Поэтому можно сравнить получаемые результаты с теми, которые были получены другими методами. Их различие даст повод руководству провести более глубокие исследования.

Программа проста в применении, достаточно ввести в программу необходимые данные из информационного поля. Единственная трудность может быть в получении анкетных данных. Трудности возникают при создании информационного поля, в котором предстоит работать.

Здесь все зависит от условий, в которых должны быть получены данные (в полевых или лабораторных). Возможности экспертов построить квазиинформационное поле упрощают работу на предварительном этапе исследования, однако при этом теряется «полевая» изюминка проекта.

Ценность проекта также в мобильности решения поставленных задач, быстрой реакции на изменения окружающей среды, легкой коррекции изменений и дополнений при работе над конкретной задачей.

1

В статье на конкретных примерах рассмотрены различные математические методы прогнозирования во времени, среди которых простая экстраполяция, методы, основанные на темпах роста, математическое моделирование. Показано, что выбор метода зависит от базы прогноза – информации за предыдущий временной период.

прогнозирование

биостатистика

1. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 228 с.

2. Петри А., Сэбин К. Наглядная статистика в медицине. – М.: ГЭОТАР-МЕД, 2003. – 144 с.

3. Садовникова Н.А., Шмойлова Р.А. Анализ временных рядов и прогнозирование: Учебное пособие. – М.: Изд. центр ЕАОИ, 2001. – 67 с.

Обычно под прогнозированием понимается процесс предсказания будущего основанное на некоторых данных из прошлого, т.е. изучается развитие интересующего явления во времени. Тогда прогнозируемая величина рассматривается как функция времени y=f(t) . Однако в медицине рассматриваются и другие виды прогноза : прогнозируется диагноз, диагностическая ценность нового теста, изменение одного фактора под действием другого и т.д.

Целью статьи было представить различные методы прогнозирования и подходы к их правильному использованию в медицине.

Материалы и методы исследования

В статье рассмотрены следующие методы прогнозирования: методы простой экстраполяции, метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания, метод среднего абсолютного прироста, метод среднего темпа роста, методы прогнозирования на основе математических моделей.

Результаты исследования и их обсуждение

Как уже было отмечено, прогноз осуществляется на основании некоторой информации из прошлого (базы прогноза). Прежде чем подобрать метод прогнозирования полезно хотя бы качественно оценить динамику изучаемой величины в предыдущие моменты времени. На представленных графиках (рис. 1) видно, что она может быть различной.

Рис. 1. Примеры динамики изучаемой величины

В первом случае (график А) наблюдается относительная стабильность с небольшими колебаниями вокруг среднего значения. Во втором случае (график Б) динамика носит линейно возрастающий характер, в третьем (график В) - зависимость от времени нелинейная, экспоненциальная. Четвертый случай (график Г)- пример сложных колебаний, имеющих несколько составляющих.

Наиболее распространенным методом краткосрочного прогнозирования (1-3 временных периода), является экстраполяция, которая заключается в продлении предыдущих закономерностей на будущее. Применение экстраполяции в прогнозировании базируется на следующих предпосылках:

Развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;

Общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не претерпит серьезных изменений в будущем.

Первый метод из методов простой экстраполяции - это метод среднего уровня ряда. В этом методе прогнозируемый уровень изучаемой величины принимается равным среднему значению уровней ряда этой величины в прошлом. Этот метод используется, если средний уровень не имеет тенденции к изменению, или это изменение незначительно (нет явно выраженного тренда, рис. 1, график А)

где yпрог - прогнозируемый уровень изучаемой величины; yi - значение i-го уровня; n - база прогноза.

В некотором смысле отрезок динамического ряда, охваченный наблюдением, можно уподобить выборке, а значит, полученный прогноз будет выборочным, для которого можно указать доверительный интервал

где - среднеквадратичное отклонение временного ряда; tα -критерий Стъюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n-1).

Пример. В табл. 1 приведены данные временного ряда y(t). Рассчитать прогнозное значение y на момент времени t =13 методом среднего уровня ряда.

Таблица 1

Данные временного ряда y(t)

		(80+98+94+103)/4
		(80+98+94+103+84)/5
		(80+98+94+103+84+115)/6
		(80+98+94+103+84+115+98)/7
		(80+98+94+103+84+115+98+113)/8
		(80+98+94+103+84+115+98+113+114)/9
		(80+98+94+103+84+115+98+113+114+87)/10
		(80+98+94+103+84+115+98+113+114+87+107)/11
		(80+98+94+103+84+115+98+113+114+87+107+85)/12

Исходный и сглаженный ряд представлены на рис. 2, расчет y - в табл. 2.

Рис. 2. Исходный и сглаженный ряд

Таблица 2

Доверительный интервал для прогноза в момент t =13

Метод скользящих средних - это метод прогнозирования на краткосрочный период, основан на процедуре сглаживания уровней изучаемой величины (фильтрации). Преимущественно используются линейные фильтры сглаживания с интервалом m, т.е.

.

Доверительный интервал

где - среднеквадратичное отклонение временного ряда; tα - критерий Стъюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы (n-1).

Пример. В табл. 3 приведены данные временного ряда y(t). Рассчитать прогнозное значение y на момент времени t =13 методом скользящих средних с интервалом сглаживания m=3.

Исходный и сглаженный ряд представлены на рис. 3, расчет y - в табл. 4.

Таблица 3

Данные временного ряда y(t)

Рис. 3. Исходный и сглаженный ряд

Таблица 4

Прогнозное значение y

Метод экспоненциального сглаживания - это метод, при котором в процессе выравнивания каждого уровня используются значения предыдущих уровней, взятых с определенным весом. По мере удаления от какого-то уровня вес этого наблюдения уменьшается. Сглаженное значение уровня на момент времени t определяется по формуле

где St - текущее сглаженное значение; yt - текущее значение исходного ряда; St - 1 - предыдущее сглаженное значение; α - сглаживающая параметр.

S0 берется равным среднему арифметическому нескольких первых значений ряда.

Для расчета α предложена следующая формула

По поводу выбора α нет единого мнения, эта задача оптимизации модели пока еще не решена. В некоторых литературных источниках рекомендуется выбирать 0,1 ≤ α ≤ 0,3.

Прогноз рассчитывается следующим образом

.

Доверительный интервал

Таблица 5

Данные временного ряда y(t)

		0,3×80+(1-0,3)×90,7
		0,3×98+(1-0,3) ×87,5
		0,3×94+(1-0,3) ×90,6
		0,3⋅103+(1-0,3) ×91,6
		0,3×84+(1-0,3) ×95
		0,3⋅115+(1-0,3) ×91,7
		0,3×98+(1-0,3) ×98,7
		0,3⋅113+(1-0,3) ×98,5
		0,3⋅114+(1-0,3) ⋅102,8
		0,3×87+(1-0,3) ⋅106,2
		0,3⋅107+(1-0,3) ⋅100,4
		0,3×85+(1-0,3) ⋅102,4
		97,2+0,3× (85-97,2)

Исходный и сглаженный ряд представлены на рис. 4, расчет y - в табл. 6.

Рис. 4. Исходный и сглаженный ряд

Таблица 6

Прогнозное значение y на момент времени t =11

Следующий метод прогноза - это метод среднего абсолютного прироста Прогнозируемый уровень изучаемой величины изменяется в соответствии со средним абсолютным приростом этой величины в прошлом. Данный метод применяется, если общая тенденция в динамике линейна (для случая, приведенного на рис. 1, график Б)

где ; y0 - базовый уровень экстраполяции выбирается как среднее значение нескольких последних значений исходного ряда; - средний абсолютный прирост уровней ряда; l - число интервалов прогнози рования.

В качестве базового уровня принято усредненное значение последних значений ряда, максимально трех.

Таблица 7

Данные временного ряда y(t)

				Прогноз = y0+Δl
			(60+75+70)/3=68,3
			(75+70+103)/3=82,7
			(70+103+100)/3=91
			(103+100+115)/3=106
			(100+115+125)/3=113,3
			(115+125+113)/3=117,7
			(125+113+138)/3=125,3
			(113+138+136)/3=129
			(138+136+145)/3=139,7
			(136+145+150)/3=143,7	143,7+8,2⋅1=151,9
				143,7+8,2⋅2=160,1
				143,7+8,2⋅3=168,3

Исходный и сглаженный ряд представлены на рис. 5.

Рис. 5. Исходный и сглаженный ряд

Метод среднего темпа роста

Прогнозируемый уровень изучаемой величины изменяется в соответствии со средним темпом роста данной величины в прошлом. Данный метод применяется, если общая тенденция в динамике характеризуется показательной или экспоненциальной кривой (рис. 1В)

где - средний темп роста в прошлом; l - число интервалов прогнозирования.

Прогнозная оценка будет зависеть от того, в какую сторону от основной тенденции (тренда) отклоняется базовый уровень y0, поэтому рекомендуется рассчитывать y0 как усредненное значение нескольких последних значений ряда.

Таблица 8

Данные временного ряда y(t)

				62,5⋅1,081 = 67,7
			(70/60)1/2 =1,08	65⋅1,081 = 70,2
		(65+70+68)/3=67,7	(68/60)1/3 =1,04	67,7⋅1,041 =70,5
		(70+68+82)/3=73,3	(82/60)1/4 =1,08	73,3⋅1,081 =79,3
		(68+82+80)/3=76,7	(80/60)1/5 =1,06	76,7⋅1,061 =81,2
		(82+80+95)/3=85,7	(95/60)1/6 =1,08	85,7⋅1,081 =92,5
		(80+95+113)/3=96	(113/60)1/7 =1,09	96⋅1,091 =105,1
		(95+113+135)/3=114,3	(135/60)1/8 =1,11	114,3⋅1,111 =126,5
		(113+135+140)/3=129,3	(140/60)1/9 =1,10	129,3⋅1,11 =142,1
		(135+140+168)/3=147,7	(168/60)1/10 =1,11	147,7⋅1,111 =163,7
		(140+168205)/3=171	(205/60)1/11 =1,12	171⋅1,121 =191,2
				171⋅1,122 =213,8
				171⋅1,123 =239,1

Исходный и сглаженный ряд представлены на рис. 6.

Рис. 6. Исходный и сглаженный ряд

На сегодняшний день наиболее распространенным методом прогнозирования является нахождение аналитического выражения (уравнения) тренда . Тренд экстраполируемого явления - это основная тенденция временного ряда, в некоторой мере свободная от случайных воздействий.

Разработка прогноза заключается в определении вида экстраполирующей функции y=f(t), которая выражает зависимость изучаемой величины от времени на основе исходных наблюдаемых данных. Первым этапом является выбор оптимального вида функции, дающей наилучшее описание тренда. Наиболее часто используются следующие зависимости:

Линейная ;

Параболическая ;

Показательная функция ;

Проблемы нахождения коэффициентов линейной функции и прогноз на ее основе рассматриваются в разделе статистики «регрессионный анализ». Если форма кривой, описывающей тренд, имеет нелинейный характер, то задача оценки функции y=f(t) усложняется, и в этом случае необходимо привлечь к анализу специалистов по биостатистике и воспользоваться компьютерными программами по статистической обработке данных.

В большинстве реальных случаев временной ряд представляет собой сложную кривую, которую можно представить как сумму или произведение трендовой, сезонной, циклической и случайной компонент.

Тренд представляет собой плавное изменение процесса во времени и обусловлен действием долговременных факторов. Сезонный эффект связан с наличием факторов, действующих с заранее известной периодичностью (например, времена года, лунные циклы). Циклическая компонента описывает длительные периоды относительного подъема и спада, состоит из циклов переменной длительности и амплитуды (например, некоторые эпидемии имеют длительный циклический характер). Случайная составляющая ряда отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера и может иметь разнообразную структуру.

Заключение

Методы простой экстраполяции, метод скользящих средних, метод экспоненциального сглаживания являются простейшими, и в тоже время самыми приближенными - это видно из широких доверительных интервалов в приведенных примерах. Большая погрешность прогноза наблюдается в случае сильных колебаний уровней. Следует обратить внимание на то, что неправомерно использовать эти методы при наличии явной тенденции к росту (или падению) исходного временного ряда. Тем не менее, для краткосрочных прогнозов их применение бывает оправданным.

Анализ всех компонентов временного ряда и прогнозирование на их основе задача нетривиальная, рассматривается в разделе статистики «анализ временных рядов» и требует специальной подготовки.

Библиографическая ссылка

Койчубеков Б.К., Сорокина М.А., Мхитарян К.Э. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В МЕДИЦИНЕ // Успехи современного естествознания. – 2014. – № 4. – С. 29-36;
URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=33316 (дата обращения: 30.03.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Статистические наблюдения в социально-экономических исследованиях обычно проводятся регулярно через равные отрезки времени и представляются в виде временных рядов x t , где t = 1, 2, ..., п. В качестве инструмента статистического прогнозирования временных рядов служат трендовые регрессионные модели, параметры которых оцениваются по имеющейся статистической базе, а затем основные тенденции (тренды) экстраполируются на заданный интервал времени.

Методология статистического прогнозирования предполагает построение и испытание многих моделей для каждого временного ряда,ихсравнение на основе статистических критериев и отбор наилучшихизних для прогнозирования.

При моделировании сезонных явлений в статистических исследованиях различают два типа колебаний: мультипликативные и аддитивные. В мультипликативном случае размах сезонных колебаний изменяется во времени пропорционально уровню тренда и отражается в статистической модели множителем. При аддитивной сезонности предполагается, что амплитуда сезонных отклонений постоянна и не зависит от уровня тренда, а сами колебания представлены в модели слагаемым.

Основой большинства методов прогнозирования является экстраполяция, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы, или - в более широком смысле слова - это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.

Наиболее известны и широко применяются трендовые и адаптивные методы прогнозирования. Среди последних можно выделить такие, как методы авторегрессии, скользящего среднего (Бокса - Дженкинса и адаптивной фильтрации), методы экспоненциального сглаживания (Хольта, Брауна и экспоненциальной средней) и др.

Для оценки качества исследуемой модели прогноза используют несколько статистических критериев.

Наиболее распространенными критериями являются следующие.

Относительная ошибка аппроксимации:

где e t = х t - - ошибка прогноза;

х t - фактическое значение показателя;

- прогнозируемое значение.

Данный показатель используется в случае сравнения точности прогнозов по нескольким моделям. При этом считают, что точность модели является высокой, когда < 10%, хорошей - при = 10-20% и удовлетворительной - при = 20-50%.

Средняя квадратическая ошибка:

(54.2)

где k - число оцениваемых коэффициентов уравнения.

Наряду с точечным в практике прогнозирования широко используют интервальный прогноз. При этом доверительный интервал чаще всего задается неравенствами

(54.3)

где t α - табличное значение, определяемое по t -распределению Стьюдента при уровне значимости α и числе степеней свободы п - k.

В литературе представлено большое число математико-статистических моделей для адекватного описания разнообразных тенденций временных рядов.

Наиболее распространенными видами трендовых моделей, характеризующих монотонное возрастание или убывание исследуемого явления, являются:

(54.4)

Правильно выбранная модель должна соответствовать характеру изменений тенденции исследуемого явления; При этом величина е t должна носить случайный характер с нулевой средней.

Кроме того, ошибки аппроксимации e t должны быть независимыми между собой и подчиняться нормальному закону распределения e t Î N (0, σ ). Независимость ошибок e t , т.е. отсутствие автокорреляции остатков, обычно проверяется по критерию Дарбина-Уотсона, основанного на статистике:

(54.5)

где e t = x t - .

Если отклонения не коррелированы, то величина DW приблизительно равна двум. При наличии положительной автокорреляции 0 ≤ DW ≤ 2, а отрицательной - 2 ≤ D W ≤ 4.

О коррелированности остатков можно также судить по коррелограмме для отклонений от тренда, которая представляет собой график функции относительно τ коэффициента автокорреляции, который вычисляется по формуле

(54.6)

где τ = 0, 1, 2 ... .

После выбора наиболее подходящей аналитической функции для тренда его используют для прогнозирования на основе экстраполяции на заданное число временных интервалов.

Рассмотрим задачу сглаживания сезонных колебаний, исходя из ряда V t = х t - , где x t - значение исходного временного ряда в момент t, а - оценка соответствующего значения тренда (t = 1, 2, ..., п ).

Так как сезонные колебания представляют собой циклический, повторяющийся во времени процесс, то в качестве сглаживающих функций используется гармонический ряд (ряд Фурье) следующего вида:

Оценки параметров α i и β i модели определяют из выражений

(54.7)

где k = п / 2 - максимально допустимое число гармоник;

ω i = 2πi / п - угловая частота i -й гармоники (i = 1, 2, ..., т).

Пусть т - число гармоник, используемых для сглаживания сезонных колебаний (т < k). Тогда оценка гармонического ряда имеетвид

(54.8)

а расчетные значения временного ряда исходного показателя определяются по формуле

54.2. Адаптивные методы прогнозирования

При использовании трендовых моделей в прогнозировании обычно предполагается, что основные факторы и тенденции прошлого периода сохранятся на период прогноза или что можно обосновать и учесть направление их изменений в перспективе. Однако в настоящее время, когда происходит структурная перестройка экономики, социально-экономические процессы даже на макроуровне становятся очень динамичными. В этой связи исследователь часто имеет дело с новыми явлениями и с короткими временными рядами. При этом устаревшие данные при моделировании часто оказываются бесполезными и даже вредными. Таким образом, возникает необходимость строить модели, опираясь в основном на малое количество самых свежих данных, наделяя модели адаптивными свойствами.

Важную роль в деле совершенствования прогнозирования должны сыграть адаптивные методы, цель которых заключается в построении самонастраивающихся моделей, которые способны учитывать информационную ценность различных членов временного ряда и давать достаточно точные оценки будущих членов данного ряда. Адаптивные модели достаточно гибки, однако на их универсальность, пригодность для любого временного ряда рассчитывать не приходится.

При построении конкретных моделей необходимо учитывать наиболее вероятные закономерности развития реального процесса. Исследователь должен закладывать в модель те адаптивные свойства, которых достаточно для слежения за реальным процессом с заданной точностью.

У истоков адаптивного направления лежит простейшая модель экспоненциального сглаживания, обобщение которой привело в появлению целого семейства адаптивных моделей. Простейшая адаптивная модель основывается на вычислении экспоненциально взвешенной скользящей средней.

Экспоненциальное сглаживание исходного временного ряда x t осуществляется по рекуррентной формуле

(54.9)

где S t - значение экспоненциальной средней в момент t, a. S t-1 - в момент t -1;

α - параметр сглаживания, адаптации, α = const, 0 < α < 1;

Выражение (54.9) можно представить в виде

В (54.10) экспоненциальная средняя в момент t выражена как экспоненциальная средняя предшествующего момента S t-1 плюс доля α отклонения текущего наблюдения х t от экспоненциальной средней S t-1 момента t - 1.

Последовательно используя рекуррентное соотношение (54.9), можно выразить экспоненциальную среднюю S t через значения временного ряда:

где S 0 - величина, характеризующая начальные условия для первого применения формулы (54.9), при t = 1.

Так как β = (1 - α) < 1, то при t → 0 β t → 0, и, согласно (54.11),

(54.12)

т.е. величина S t оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. При этом веса падают экспоненциально в зависимости от давности наблюдения, откуда и название S t - экспоненциальная средняя.

Из (54.12) следует, что увеличение веса более свежих наблюдений может быть достигнуто повышением α. В то же время для сглаживания случайных колебаний временного ряда x t величину α нужно уменьшить. Два названных требования находятся в противоречии, и на практике при выборе α исходят из компромиссного решения.

Экспоненциальное сглаживание является простейшим видом самообучающейся модели с параметром адаптации α. Разработано несколько вариантов адаптивных моделей, которые используют процедуру экспоненциального сглаживания и позволяют учесть наличие у временного ряда x t тенденции и сезонных колебаний. Рассмотрим некоторыеизтаких моделей.

Адаптивная полиномиальная модель первого порядка

Рассмотрим алгоритм экспоненциального сглаживания, предполагающий наличие у временного ряда x t линейного тренда. В основе модели лежит гипотеза о том, что прогноз может быть получен по уравнению

где - прогнозируемое значение временного ряда на момент (t + τ);

, - оценки адаптивных коэффициентов полинома первого порядка в момент t;

τ - величина упреждения.

Экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядков для модели имеют вид

(54.13)

где β = 1 - α, а оценка модельного значения ряда с периодом упреждения τ равна

(54.14)

Для определения начальных условий первоначально по данным временного ряда x t находим методом наименьших квадратов оценки линейного тренда:

и принимаем и . Тогда начальные условия определяются как:

(54.15)

Контрольные вопросы

1. Какие модели прогнозирования вы знаете и каковы их особенности?

2. В чем состоит статистический подход к прогнозированию, моделированию тенденций и сезонных явлений в стратегических исследованиях?

3. Какие трендовые модели вам известны и как оценивается их качество?

4. В чем особенность адаптивных методов прогнозирования?

5. Какимобразом осуществляется экспоненциальное сглаживание временного ряда?

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В УПРАВЛЕНИИ ПРЕДПРИЯТИЕМ

Ковальчук Светлана Петровна

студентка 4 курса, кафедра экономической кибернетики ВНАУ, г. Винница

Коляденко Светлана Васильевна

научный руководитель, докт.экон.наук, профессор ВНАУ, г. Винница

Введение. В условиях развития рыночных отношений для обеспечения эффективного хозяйствования предприятия, принятия управленческих решений необходимо проведение глубокого анализа экономических показателей его деятельности в динамике, что дает возможность с помощью методов прогнозирования по мере поступления новой информации выявить закономерности изменений во времени и определить обоснованные пути развития объекта управления.

Анализ последних исследований и публикаций. Вопрос прогнозирования исследовались в научных работах таких известных отечественных и зарубежных экономистов, как И. Ансофф, В. Геець, Г. Добров, М. Долишний, А. Илишев, М. Кизим, В. Кучерук, В. Лисичкин, А. Мельник, М. Мескон, З. Микитишин, И. Михасюк, Б. Панасюк, М. Портер, Г.Савицкая, Р. Сайфулин и другие. Тем не менее существует объективная необходимость дальнейшего исследования методических и прикладных основ прогнозирования деятельности предприятий с учетом особенностей становления рыночной экономики.

Целью исследования является систематизация математических методов экономического прогнозирования в управлении предприятием, определение их особенностей, заданий и принципов.

Основные результаты исследования. Прогноз (от греч. prognosis – предвидение) – это попытка определить состояние некоторого явления или процесса в будущем. Процесс формирования прогноза называют прогнозированием. Прогнозирование в управлении предприятием – это научное обоснование возможных количественных и качественных изменений его состояния, уровня развития в целом, отдельных направлений деятельности в будущем, а также альтернативных способов и сроков достижения ожидаемого состояния.

Процесс прогнозирования всегда основывается на определенных принципах:

• целеустремленность – содержательное описание поставленных исследовательских задач;
• системность – построение прогноза на основании системы методов и моделей, которые характеризуются определенной иерархией и последовательностью;
• научная обоснованность – всесторонний учет требований объективных законов развития общества, использование мирового опыта;
• многоуровневое описание – описание объекта как целостного явления и вместе с тем как элемента более сложной системы;
• информационное единство – использование информации на одинаково равное обобщения и целостности признаков;
• адекватность объективным закономерностям развития – выявление и оценка устойчивых взаимосвязей и тенденций развития объекта;
• последовательное решение неопределенности – поэтапная процедура продвижения от выявления целей и сложившихся условий к определению возможных направлений развития;
• альтернативность – выявление возможности развития объекта при условии разных траекторий, разнообразных взаимосвязей и структурных соотношений .

Прогнозирование выполняет три основных функции и имеет три стадии:

• предвидение возможных тенденций изменений в будущем, выявление закономерностей, тенденций, факторов, обуславливающих эти изменения (исследовательская стадия);
• выявление альтернативных вариантов влияния на развитие объекта в результате принятия тех или иных решений, оценка последствий реализации этих решений (стадия обоснования управленческих решений);
• оценка результатов выполнения решений, непредвиденных изменений внешней среды, чтобы своевременно скоординировать решение (стадия наблюдения и коррекции) .

Эти три функции и три стадии взаимно переплетены, итеративно повторяются и являются составными элементами управленческой деятельности в любой сфере.

Качество прогнозов в значительной мере зависит от методов прогнозирования, которыми называют совокупность приемов и оценок, которые дают возможность на основании анализа прошлых (ретроспективных) внутренних и внешних связей, присущих объекту, а также их изменений с определенной вероятностью сделать вывод относительно будущего развития объекта .

По принципу информационного обоснования различают такие методы:

І. Фактографические методы, которые базируются на фактическом информационном материале об объекте прогнозирования и его прошлом развитии:

• статистические методы: экстраполяции и интерполяции, корреляционно-регрессионный анализ, факторные модели;
• аналогии: математические, исторические;
• опережающие методы прогнозирования, которые основываются на определенных принципах специальной обработки научно-технической информации и реализуют в прогнозе ее свойство опережать развитие научно-технического прогресса (методы анализа динамики патентования, публикационные методы прогнозирования).

ІІ. Экспертные методы, которые базируются на субъективной информации, которую предоставляют специалисты-эксперты в процессе систематизированных процедур выявления и обобщение их мысли относительно будущего состояния дел. Для этих методов характерно предвидение будущего на основе как рациональных доказательств, так и интуитивных знаний. Они, как правило, имеют качественный характер. К этим методам принадлежат такие:

• прямые: экспертного опрашивания; экспертного анализа, когда эксперт или коллектив экспертов сами ставят и решают вопросы, которые ведут к поставленной цели; с обратной связью; метод «комиссий», что может означать организацию «круглого стола» и других подобных мероприятий, в пределах которых происходит согласование мыслей экспертов; метод «мозговых атак», для которого характерны коллективная генерация идей и творческое решение проблем; метод Дельфи, что предусматривает проведение анкетных опрашиваний специалистов избранной области знаний.

ІІІ. Комбинированные методы со смешанной информационной основой, в которой как первичную используют фактографическую и экспертную информацию: балансовые модели; оптимизационные модели.

Одними из наиболее распространенных методов прогнозирования являются эконометрические методы – это комплекс экономических и математических научных дисциплин, которые изучают экономические процессы и системы. Эконометрическая модель представляет собой систему регрессионных (стохастических) уравнений и тождественностей. Коэффициенты уравнений определяются методами математической статистики на основе конкретной экономико-статистической информации, а наиболее распространенным методом количественной оценки коэффициентов есть метод наименьших квадратов с его модификациями. Эконометрические уравнения выражают зависимость исследуемых переменных от изменения других показателей, в том числе и от состояния этих переменных в прошлом. Тождественности же устанавливают взаимозависимость между переменными, отображающими структуру используемой статистики .

Математическую платформу эконометрических моделей составляют методы корреляционного и регрессионного анализа. Корреляционный анализ дает возможность отобрать наиболее существенные факторы и построить соответствующее уравнение регрессии .

Корреляционный анализ обеспечивает: измерение степени связи двух и больше переменных; выявление факторов, наиболее существенно влияющих на зависимую переменную; определение прежде неизвестных причинных связей (корреляция непосредственно не раскрывает причинных связей между явлениями, но определяет числовое значение этих связей и вероятность суждений относительно их существования). Основными средствами анализа есть парные, частные и множественные коэффициенты корреляции.

Регрессионный анализ разрешает решать такие задачи:

• установление форм зависимости между одной эндогенной и одной или несколькими экзогенными переменными (положительная, отрицательная, линейная, нелинейная). Эндогенная переменная обычно обозначается Y , а экзогенная (экзогенные), которая еще иначе называется регрессором, – X ;
• определение функции регрессии. Важно не только указать общую тенденцию изменения зависимой сменной, а и выяснить степень влияния на зависимую переменную главных факторов, если бы остальные (второстепенные, побочные) факторы не изменялись (находились на том самом среднему уровне) и были исключены случайные элементы;
• оценивание неизвестных значений зависимой сменной.

Согласно цели прогнозирования определяется совокупность и структура переменных, которые входят в модель. На основе теоретического анализа взаимосвязей переменных формируется система уравнений, и оцениваются параметры уравнений регрессии. В результате рассмотрения разных вариантов структур уравнений в системе остаются те из них, которые имеют наилучшие качественные характеристики и не противоречат экономической теории. И последний этап построения модели содержит проверку ее способности воссоздавать динамику прошлого экономического развития, т.е. имитацию на модели базового периода, который разрешает оценить ее качество.

Объектами прогнозирования в управлении предприятием могут быть: спрос, производство продукции (выполнение услуг), объем продаж, потребность в материальных и трудовых ресурсах, затрат производства и реализации продукции, цены, доходы предприятия, его техническое развитие.

Субъектами прогнозирования являются планово-экономические отделы предприятия, маркетинговые и технические отделы.

Разработка планов-прогнозов (на перспективу, краткосрочные (год, квартал, месяц) и оперативные (сутки, декада)) происходит как в целому по предприятию, так и по его структурным подразделениям: цехам, участкам, службам. При прогнозировании показателей целесообразно использовать следующую систему методов: экспертные оценки, факторные модели, методы оптимизации, нормативный метод.

Выводы. Для принятия решения необходимо иметь достоверную и полную информацию, на основе которой формируется стратегия производства и сбыта продукции. В связи с этим повышается роль прогнозов, нужное расширение системы и совершенствование методов прогнозирования, применяемых на практике. Особое внимание должно уделяться прогнозированию спроса на продукцию, расходов производства, цен и прибыли. Для этого проводятся исследование внутреннего и мирового рынков, осуществляется анализ эластичности спроса.

Список литературы:

1. Лугинин О.Е. Эконометрия: учеб. пособие для студ. высших учеб. завед. – 2-е изд., перераб. и доп. – К. : Центр учебной литературы, 2008. – 278 с.
2. Орлов А.И. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2002. – 576 с.
3. Присенко Г. В., Равикович Є. И. Прогнозирование социально-экономических процессов: учебн. пособ. – К.: КНЭУ, 2005. – 378 с.
4. Стеценко Т. О., Тищенко О. П. Управление региональнойэкономикой: учебн. пособ. ГВУЗ Киев. нац. экон. ун-т им. В. Гетьмана. – К. : КНЭУ, 2009. – 471 с.
5. Яковец Ю.В. Прогнозирование циклов и кризисов. – M.: МФК, 2000. – С. 42.

ВВЕДЕНИЕ

В переводе с греческого слово «прогноз» означает предвидение, предсказание о развитии чего-либо, основанное на определенных фактических данных. В общем виде под прогнозом следует понимать научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем, об альтернативных путях и сроках его осуществления.

Цель прогнозирования состоит в создании научных предпосылок, включающих научный анализ тенденций развития экономики; вариантное предвидение предстоящего развития общественного воспроизводства, учитывающее как сложившиеся тенденции, так и намеченные цели; оценку возможных последствий принимаемых решений; обоснование направлений социально-экономического и научно-технического развития для принятия управляющих решений.

Прогнозы природных ресурсов характеризуют вовлечение последних в хозяйственный оборот и охватывают все виды общественного воспроизводства и природную среду: топливо и минеральные ресурсы, ресурсы Мирового океана, некоторые виды энергии, растительный и животный мир, а также охрану окружающей среды.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Математические методы прогнозирования имеют высокую достоверность получаемой информации. При прогнозировании наибольшее распространение получили методы математической экстраполяции, экономико-статистического и экономико-математического моделирования.

Методы математической экстраполяции позволяют количественно охарактеризовать прогнозируемые процессы. Он основан на изучении сложившихся в прошлом закономерностей развития изучаемого явления и распространения их на будущее. Метод исходит из того, что в экономической жизни действует принцип инерции, т.е. наблюдаемые закономерности достаточно устойчивы в течение некоторого периода времени.

Экстраполяция в прогнозировании осуществляется с помощью выравнивания статистических рядов вне их связи с другими рядами экономической динамики, влияние которых учитывается в усредненном виде лишь на основе опыта прошлого.

Предпосылка о сохранении неизменности условий предшествующего периода при экстраполяции ограничивает возможности применения этого метода сравнительно непродолжительными периодами, в течение которых не происходит существенных качественных изменений. Наиболее достоверны результаты прогнозирования при соотношении продолжительности предшествующего периода (ретроспекции) и периода упреждения (проспекции).

Для применения данного метода необходимо иметь продолжительный ряд показателей за прошедшей период. Данная информация изучается и обрабатывается. Фактический временной ряд выравнивается путем графоаналитического или статистического подбора аппроксимирующей функции. Далее разрабатывают гипотезы изменения объекта в прогнозный период (период упреждения) и формализуют их в виде количественных показателей (тенденций). При этом значения показателей можно прогнозировать не только на конец прогнозного срока, но и на промежуточных этапах.

Методы и приемы математической статистики, теории вероятности дают возможность использовать широкий круг функций для прогнозирования необходимого показателя во времени.

Данные методы имеют недостатки, так как не может быть дан достоверный прогноз на длительный срок, если имеются скачкообразные изменения данных; нет возможности определить качественные характеристики прогнозируемых объектов.

Методы математической экстраполяции применяются при прогнозировании отводов земель для несельскохозяйственных нужд, установления урожайности сельскохозяйственных культур и т.д.

Наиболее часто применяются при прогнозировании экономико-статистические модели. На основе их рассчитывают урожайность сельскохозяйственных культур, продуктивность животных, выход продукции с сельскохозяйственных земель, прогнозные нормативы (облесенность территории, сельскохозяйственная освоенность земель и др.). Данный метод позволяет научно обосновать показатели и нормативы, используемые при планировании.

Экономико-статистической моделью называют функцию, связывающую результативный и факторные показатели, выраженную в аналитическом, графическом, табличном или ином виде, построенную на основе массовых данных и обладающую статистической достоверностью. Такие функции называют производственными, так как они описывают зависимость результатов производства от имеющихся факторов.

Процесс разработки экономико-статистической модели (моделирование) состоит из следующих стадий:

• 1. Экономический анализ производства. Определение зависимой переменной (результативный показатель) и выявление факторов, влияющих на неё (факторный показатель).
• 2. Сбор статистических данных и их обработка.
• 3. Установление математической формы связи (вид уравнения) между результативными и факториальными показателями.
• 4. Определение числовых параметров экономико-статистической модели.
• 5. Оценка степени соответствия экономико-статистической модели изучаемому процессу.
• 6. Экономическая интерпретация модели.

Экономический анализ производства заключается в определении цели, задачи и выборе результативного показателя, который отражает эффективность прогнозного решения. При анализе интенсивности использования земель в сельскохозяйственных организациях в качестве результативного показателя могут быть использованы стоимость валовой продукции в расчёте на 100 га сельхозземель (пахотных земель), урожайность культур, продуктивность земель и др.

В качестве факторных показателей используют балл плодородия почв, сельскохозяйственную освоенность и распаханность, энерговооруженность, трудообеспеченность и т. д.

При выборе независимых факторов руководствуются определенными правилами:

• 1. Точность производственных функций выше при большем числе эмпирических данных (при крупных выборках).
• 2. Факторы-аргументы должны оказывать наиболее существенное влияние на изучаемый процесс, количественно измеряться и представляться лишь одним признаком.
• 3. Количество отобранных факторов не должно быть большим, так как это усложняет модель и повышает трудоёмкость её использования.
• 4. Включаемые в модель факторы не должны находиться между собой в состоянии функциональной связи (автокорреляция), так как они характеризуют одну и ту же сторону изучаемого явления и дублируют друг друга. При использовании их в экономико-статистической модели изучаемые зависимости и результаты расчётов могут быть искажены.

Сбор статистических данных и их обработку производят после определения зависимой переменной (результативного показателя) и факторов-аргументов. При сборе информации используют экспериментальный и статистический методы. Первый предполагает изучение данных, получаемых в результате проведения опытов, условия которых можно контролировать. Но в землеустройстве процесс экспериментирования затруднён, а при решении отдельных вопросов вообще невозможен.

Второй метод основан на использовании статистических данных (сплошных или выборочных). Например, если при анализе размеров землепользования используются данные по всем сельскохозяйственным предприятиям области, то статистическая информация является сплошной, а изучаемая совокупность - генеральной.

Однако размер генеральных совокупностей бывает слишком большим - несколько сотен единиц и более. Поэтому для сокращения расчётов и экономии времени число наблюдений сокращают, получая выборочные данные (формируя выборочную совокупность) различными методами, позволяющими сохранить достоверность вычислений и распространить результаты исследований на генеральную совокупность.

Во всех случаях выборка должна быть однородной; исключать аномальные объекты и данные (сильно отличающиеся от всех остальных); включать только факторы, которые измеряются однозначно некоторым числом или системой чисел.

Определение математической формы связи переменных производят, логически анализируя процесс. Анализ позволяет установить вид уравнения (линейное, нелинейное), форму связи (парная или множественная) и т. д.

Определение параметров модели включает расчёт числовых характеристик математической зависимости (уравнения). Например, если для установления зависимости урожайности сельскохозяйственных культур (у) от балла плодородия ночв (х) выбрана линейная зависимость вида, то данная стадия моделирования заключается в получении численных значений коэффициентов и.

Для определения параметров уравнения могут применяться различные методы, но практика показывает, что самые точные результаты даёт метод наименьших квадратов. Оценка степени соответствия экономико-статистической модели изучаемому процессу осуществляется с использованием специальных коэффициентов (корреляции, детерминации, существенности и др.). Данные коэффициенты показывают соответствие математического выражения изучаемому процессу, можно ли использовать полученную модель для проведения последующих расчётов и принятия землеустроительных решений, насколько точно определяется результативный показатель и с какой вероятностью можно доверять ему.

Экономическое применение модель находит при научном обосновании нормативов, экономическом обосновании показателей в прогнозных разработках. математический экстраполяция сельскохозяйственный

Наиболее распространённым видом экономическо-статистических моделей являются производственные функции.

Производственная функция - это математически выраженная зависимость результатов производства от производственных факторов.

С помощью производственных функций при прогнозировании анализируют состояние и использование земель; подготавливают исходную информацию для экономико-математических задач по оптимизации различных решений; устанавливают уровень результативного признака на перспективу при планировании и прогнозировании использования земель в схемах и проектах землеустройства; определяют экономические оптимумы, коэффициенты эластичности, эффективности и взаимозаменяемости факторов. Для выражения зависимостей при прогнозировании наиболее часто употребляется линейная зависимость, поскольку она проста в применении. Реже применяются степенные, гиперболические, полиномиальные и другие.

Экономико-математическое моделирование предполагает создание модели, которая изучает экономический объект и представляет его описание с помощью знаков и символов (математических уравнений и неравенств, матриц, формул и др.).

Решение любой экономико-математической задачи при планировании и прогнозировании в землеустройстве связано с большим количеством информации. Для моделирования необходимо получить исходную информацию, ее обработать, проанализировать и оценить. Собранная информация должна быть полной, достоверной, своевременной, оперативной, представляться в удобной форме для дальнейшего использования. При этом затраты на сбор, обработку, передачу, хранение информации. При планировании и прогнозировании в землеустройстве используют следующие виды и источники информации: геоинформационные данные, статистические и отчетные данные по объекту планирования, плановая информация, нормативная информация.

Основой экономико-математической модели является матрица - специальная таблица, содержащая смысловые или кодовые обозначения функции цели; переменных и ограничений; их числовое выражение в виде коэффициентов или ограничений;

Целевая функция это аналитическая форма выражения критерия оптимальности. При моделировании в зависимости от уровня объекта (процесса) выделяют глобальный, отраслевой, локальный и частные критерии оптимальности;

Размер матрицы определяется перечнем переменных величин. В качестве переменных величин используют площади земель; показатели производственной деятельности сельскохозяйственной отрасли (по растениеводству, животноводству в целом; по сельскохозяйственным культурам; по видам скота).

Нахождение при прогнозировании оптимальных решений зависит от правильного определения состава ограничений. Ограничения формулируют в виде системы неравенств и уравнений, выражающей возможности производства и баланс ресурсов.

Ограничения могут быть основными, которые накладываются на все или большинство переменных (площади земель, рабочих участков, дозы внесения удобрений и т. д.), дополнительными - накладываются на отдельные переменные или небольшие группы (объёмы производства отдельных видов продукции, потребление некоторыми группами животных некоторых видов кормов и т. д.) и вспомогательными (не имеют самостоятельного экономического значения, используются для правильной формулировки экономических требований и математической записи).

Используют различные виды экономико-математических моделей: корреляционные модели и производственные функции, балансовые модели, модели оптимизации. При разработке схемы землеустройства административного района решаются следующие основные экономико-математические задачи: распределение земель административного района по категориям; оптимизация мероприятий по освоению и интенсификации использования земель; оптимизация размещения, специализации и уровня концентрации сельскохозяйственного производства в административном районе; установление оптимальных размеров сельскохозяйственных организаций; перераспределения земель между сельскохозяйственными организациями и др. Данные задачи часто состоят из блоков, каждый из которых имеет свой критерий оптимальности.

Например: в основу модели по оптимизации размещения, специализации и уровня концентрации сельскохозяйственного производства в административном районе положены две модели: по определению оптимального сочетания отраслей сельскохозяйственного производства и по установлению оптимального размера землепользований сельскохозяйственных организаций.

Данная задача состоит из блоков, в качестве которых выступают сельскохозяйственные организации.

В качестве переменных используют неизвестные: посевные площади сельскохозяйственных культур; виды и подвиды земель; трансформируемые земли; виды внутрихозяйственных ресурсов и другие переменные, которые учитывают особенности района.

Выделяют следующие группы ограничений:

• 1. Условия использование земель (по площадям, по качественным условиям) и возможность их трансформации.
• 2. Соотношение площадей земель.
• 3. Агробиологические и зоотехнические условия ведения сельскохозяйственного производства.
• 4. Ограничения по производству и использованию кормов.
• 5. Рекомендуемый размер землепользований сельскохозяйственных организаций в зависимости от специализации.
• 6. Ресурсные ограничения (по объему продаж продукции, по затратам труда, по денежным затратам на тех. средства, мин. удобрения, семена и др.).
• 7. Ограничения, учитывающие особенности расселения, а также использование трудовых и механизированных ресурсов.
• 8. Общерайонные условия и пропорции (баланс распределения материально-технических фондов по району, численность занятых в сельском хозяйстве и всего населения по району и др.).

В качестве критерия оптимальности при решении данной задачи используют, как правило, минимум приведенных затрат на фиксированный объем производства продукции.

В результате решения задачи устанавливают: состав и соотношение земель по отдельным землепользованиям и в целом по району; площади земель, подлежащие улучшению, освоению и трансформации; посевные площади сельскохозяйственных культур; структуру стада животных, производства и потребления кормов; межхозяйственное и внутрихозяйственное размещение отраслей в районе; специализацию и объем производства продукции в сельскохозяйственных организаций и их объединениях; балансы средств в целом по району и в разрезе сельхозорганизаций; распределение единовременных средств между сельхозорганизациями.