Дифференциальные уравнения онлайн. Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .
Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.
Напомним, что , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .
Запишем несколько примеров таких ДУ .
Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x)
. В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x)
≠ 0
. Примерами таких ОДУ являются .
Если существуют значения аргумента x
, при которых функции f(x)
и g(x)
одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x
являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .
Дифференциальные уравнения второго порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p
и q
возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими
или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как
, или
, или соответственно.
Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3
и k 2 = 0
. Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y
ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x)
, стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем
Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .
Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.
Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке
представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1
и y 2
этого уравнения, то есть, .
Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:
Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.
Примером ЛОДУ является .
Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.
В качестве примера ЛНДУ можно привести .
Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1
порядка, может быть понижен до n-k
заменой .
В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .
Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) ;
(3) ;
(4) ;
Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.
Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2.
Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при .
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
.
В результате мы получили общее решение -
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x , получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
Дифференциальное уравнение (ДУ)
- это уравнение ,
где - независимые переменные, y
- функция и - частные производные.
Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .
Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.
Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.
Вот пример уравнения первого порядка:
Вот пример уравнения четвертого порядка:
Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:
В этом случае переменные x
и y
являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x
так и y
.
В первом случае y
является функцией от x
.
Во втором случае x
является функцией от y
.
Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′
.
Разделив это уравнение на dx
,
мы получим:
.
Поскольку и ,
то отсюда следует, что
.
Решение дифференциальных уравнений
Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:
- явную зависимость функции от переменной;
Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .
- неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y)
= 0
или системы уравнений;
Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
- зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;
Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
- решение может не выражается через элементарные функции.
Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Данный онлайн калькулятор позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн. Достаточно в соответствующее поле ввести ваше уравнение, обозначая через апостроф " производную от функции и нажать на кнопку "решить уравнение". И система, реализованная на основе популярного сайта WolframAlpha выдаст подробное решение дифференциального уравнения абсолютно бесплатно. Вы можете также задать задачу Коши, чтобы из всего множества возможных решений выбрать частное соответствующее заданным начальным условиям. Задача Коши вводится в отдельном поле.
Дифференциальное уравнение
По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x . Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t . С помощью калькулятора вы сможете решать дифференциальные уравнения любой сложности и вида: однородные и неоднородные, линейные или нелинейные, первого порядка или второго и более высоких порядков, уравнения с разделяющимися или неразделяющимися переменными и т.д. Решение диф. уравнения даётся в аналитическом виде, имеет подробное описание. Дифференциальные уравнения очень часто встречаются в физике и математике. Без их вычисления невозможно решать многие задачи (особенно в математической физике).
Одним из этапов решения дифференциальных уравнений является интегрирование функций . Есть стандартные методы решений дифференциальных уравнений. Необходимо привести уравнения к виду с разделяющимися переменными y и x и отдельно проинтегрировать разделенные функции. Чтобы это сделать иногда следует провести определенную замену.