При однократном бросании симметричной монеты вероятность выпадения. Независимые испытания и формула бернулли

Продолжаю тему, начатую здесь -
Вообще, спорить о том, работает теория вероятности или не работает, может ли выпасть 20 раз подряд одна и та же сторона монетки или не может - дело неблагодарное.
Сразу приходит на ум история:

...Спорили два схоласта, как обычно напористо, во всеоружии ученых средств: есть ли у крота глаза? Их диспут долго слушал садовник, наконкц не выдержал, подошел и предложил: "Зачем же спорить, господа? Вы лишь прикажите, и я мигом доставлю вам крота. Вы и увидите, есть ли у него глаза". На эту инициативу схоласты ответили единодушным отказом. "Пошел вон отсюда! Нам не нужен настоящий крот! Мы спорим в принципе!" ...

И все же, сегодня хочется именно ПОСПОРИТЬ о том - "есть у крота глаза или же их нет? "... :-)

Но прежде чем спорить, ответьте СНАЧАЛА на простой вопрос:

И только ПОСЛЕ ЭТОГО - заглядывайте под кат! ;-)

Так вот, обычно, вместо спора, я предлагаю оппоненту проверить "теорию вероятности" НА ПРАКТИКЕ , используя обчную монетку...
Просто возьмите обычную монету и начните ее поддбрасывать, тщательно записывая в тетрадь результаты своего эксперимента.

Только подкидывайте монетку серьезно и честно (вы же это для себя будете делать!) - досчтаточно высоко и что б по-настоящему хаотично вертелась. Поподкидывайте монетку и посмотрите: случится ли такое чудо, чтобы монетка Ваша 20 раз ПОДРЯД(!!!) упала одной и той же сторной ... ;-)

Боюсь, кидать монетку вам придется до старости (причем совсем не в том смысле, как в фильме Тома Стоппарда "Розенкранц и Гильденстерн мертвы"). :-)

А математика - да, математика на нашей стороне!
Ведь если случайное событие повторилось несколько раз, то с каждым разом вероятность его повторения обязана падать, просто потому, что решка один раз — вероятность 0.5, решка дважды подряд — 0.5*0.5=0.25, трижды — 0.5^3=0.125, десять раз подряд — 0.510=0.00098, а одиннадцать повторений подряд могут выпасть только с вероятностью 0.00049, и т.д.

Кто не согласен - представьте, что вы пришли в казино и у вас есть две разных игры:

1. Один раз подкинуть монетку и угадать орел или решка. Если 1 раз выпало то, что Вы загадали, получаете выигрыш...
2. Нужно загадать "орел" или "решка" и 20 раз подкинуть монетку. Если 20 раз ПОДРЯД выпадет то, что Вы загадали, то выигрыш Ваш...

Так в какую игру Вы будете играть?
- Конечно же, в первую!
- А почему?
- Да потому, что в первой игре Ваш шанс выиграть = 50%, тогда как во второй он равен лишь 0.5^20...

И пожалуйста, не надо заводить аццкую песнь о том, что рулетка/монетка не имеет памяти и что, де - вероятность выпадения любого значения при броске одинакова, при любом количестве бросков! Тех, кто не понимает разницы между одиночным событием и цепью событий - сразу же отправляю проверять "теорию вероятности" НА ПРАКТИКЕ , используя обчную монетку... ;-)

Бросание монет. Решение задач на нахождение вероятности

На этой странице я расскажу об одном популярном классе задач, которые встречаются в любых учебниках и методичках по теории вероятностей - задачах про бросание монет (кстати, они встречаются в части В6 ЕГЭ). Формулировки могут быть разные, например "Симметричную монету бросают дважды..." или "Бросают 3 монеты...", но принцип решения от этого не меняется, вот увидите.

найти вероятность, что при бросании монеты
Кстати, сразу упомяну, что в контексте подобных задач не существенно, написать "бросают 3 монеты" или "бросают монету 3 раза", результат (в смысле вычисления вероятности) будет один и тот же (так как результаты бросков независимы друг от друга).

Для задач о подбрасывании монеты существуют два основных метода решения, один - по формуле классической вероятности (фактически переборный метод, доступный даже школьникам), а также его более сложный вариант с использованием комбинаторики, второй - по формуле Бернулли (на мой взгляд он даже легче первого, нужно только запомнить формулу). Рекомендую по порядку прочитать про оба метода, и потом выбирать при решении подходящий.

Классическая вероятность (перебор)
Классическая вероятность (комбинаторный подход)
Формула Бернулли
Полезные ссылки
Способ 1. Классическое определение вероятности

Для начала надо вспомнить саму формулу, по которой будем считать. Итак, вероятность находится как P=m/nP=m/n, где nn - число всех равновозможных элементарных исходов нашего случайного эксперимента с подбрасыванием, а mm - число тех исходов, которые благоприятствуют событию (то есть тому, что указано в условии задачи). Но как найти эти загадочные исходы? Проще всего пояснить на примерах.

Итак, монету бросают дважды. Если обозначить буквой Р выпадение решки (цифры), а буквой О - выпадение орла (герба), то все возможные выпадения можно записать так: РР, ОР, РО и ОО (соответствено, выпали две решки, орел потом решка, решка потом орел и два орла). Подсчитываем число этих комбинаций и получаем n=4n=4. Теперь из них надо отобрать только те, что удовлетворяют условию "орел выпадет ровно один раз", это комбинации ОР и РО и их ровно m=2m=2. Тогда искомая вероятность равна P=2/4=1/2=0.5P=2/4=1/2=0.5. Готово!

Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найти вероятность того, что оба раза выпала одна сторона.

Так как монета снова подбрасывается два раза, множество всех элементарных исходов эксперимента (или комбинаций, как мы их называем здесь для удобства), точно такое же: РР, ОР, РО и ОО, n=4n=4. А вот условию "оба раза выпала одна сторона" удовлетворяют другие комбинации: РР и ОО, откуда m=2m=2. Нужная вероятность равна P=2/4=1/2=0.5P=2/4=1/2=0.5.

Как видим, все довольно просто. Перейдем к чуть более сложной задаче.

Пример 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Снова применим формулу классической вероятности. Шаг первый - выписываем все возможные комбинации уже для 3 бросков! Это будут: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Смотри-ка, бросков всего на один больше, а комбинаций возможных уже n=8n=8 (кстати, они находятся по формуле n=2kn=2k, где kk - число бросков монеты).

Теперь из этого списка надо оставить только те комбинации, где О встречается 2 раза, то есть: ООР, ОРО, РОО, их будет m=3m=3. Тогда вероятность события P=m/n=3/8=0.375P=m/n=3/8=0.375.

Взяли разгон и переходим к 4 монетам.

Приступаем к вычислению. Шаг первый - выписываем все возможные комбинации для 4 бросков монеты. Чтобы проверить себя, сразу подсчитаем, что их должно получиться n=24=16n=24=16 штук! Вот они:
OOOO, OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,
POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO, PPOP, PPPO, PPPP.

Теперь выбираем те, где герб (он же орел, он же буква О) встречается 2 или 3 раза: OOOP, OOPO, OOPP, OPOO, OPOP, OPPO, POOO, POOP, POPO, PPOO,
их будет m=10m=10. Тогда вероятность равна P=m/n=10/16=5/8=0.625P=m/n=10/16=5/8=0.625.

Думаю, к этому времени вы уже поняли суть метода и сможете сами решить задачи, где бросаются 2-3-4 монеты и орел не выпадает ни разу, или решка ровно один раз и т.п.

Способ 2. Комбинаторный подход + классическая вероятность

Надо заметить, что если действовать исключительно переборным методом (как это делалось выше), с ростом числа монет быстро растет число комбинаций (для 5 монет - 32, для 6 монет - 64 и так далее), так что и вероятность ошибиться при выписывании исходов велика, метод решения теряет свою простоту и привлекательность.

Один из способов решения этой проблемы - остаться в рамках формулы классической вероятности, но использовать комбинаторные методы (см. формулы комбинаторики тут) для подсчета числа исходов. Поясню на примере последней задачи, решив ее другим способом.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 4 монет. Все исходы можно закодировать некоторой последовательностью вида X1X2X3X4X1X2X3X4, где Xi=OXi=O (в ii-ый раз выпал орел) или Xi=PXi=P (в ii-ый раз выпала решка). Найдем число всех таких последовательностей. Значение X1X1 (результат первого броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), значение X2X2 (результат второго броска) может быть выбран 2 способами (орел или решка), и так далее. Итого получим всего n=2⋅2⋅2⋅2=16n=2⋅2⋅2⋅2=16 различных исходов. Или, если использовать формулу комбинаторики для числа размещений с повторениями из 2 объектов по 4 позициям, сразу получим n=A24=24=16n=A42=24=16.

Найдем число благоприятствующих исходов с использованием комбинаторики. Сначала найдем число таких последовательностей, где О встречается ровно 2 раза. Выбираем C24C42 способами 2 позиции, где будет стоять О (на остальных тогда ставим решки). Аналогично для последовательностей, где О встречается ровно 3 раза - C34C43 способами выбираем 3 позиции, где будет стоять О (на оставшейся позиции записывается решка). Подсчитывая число сочетаний и складывая, найдем количество благоприятствующих комбинаций:
m=C24+C34=4!2!2!+4!3!1!=3⋅41⋅2+4=6+4=10.
m=C42+C43=4!2!2!+4!3!1!=3⋅41⋅2+4=6+4=10.
Итого получаем такое же значение вероятности: P=m/n=10/16=0.625P=m/n=10/16=0.625.

Конечно, этот подход кажется сложнее из-за более формального математического описания решения, но гораздо легче масштабируется.

Например, если рассмотреть подобную задачу:

Пример 5. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 4 раза

Ответ можно получить без выписывания 256 комбинаций (!!!), просто по аналогии с примером выше:
n=28=256;m=C48=8!4!4!=5⋅6⋅7⋅81⋅2⋅3⋅4=70;P=nn=70256=0.273.
n=28=256;m=C84=8!4!4!=5⋅6⋅7⋅81⋅2⋅3⋅4=70;P=nn=70256=0.273.
Ради полноты изложения приведу еще пример задачи, решаемой подобным образом (но если хотите, можете сразу переходить к более простому способу 3).

Пример 6. Монету подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что гербы выпадут два раза и только подряд, а в остальные разы будут только решки.

Найдем количество всех равновозможных элементарных исходов эксперимента, заключающегося в бросании 6 монет. Так как каждый бросок дает 2 возможных исхода (О или Р), всего получим n=26=64n=26=64 элементарных исхода (комбинации вида ОРОРОР, ОООРРР и т.д.).

Найдем число благоприятствующих исходов. Мысленно объединим два герба, которые должны появиться рядом, в один объект (ОО). Остается выбрать ему место среди остальных 4 решек (так гербов должно выпасть 2, то решек - 6-2=4). Существует m=C15=5m=C51=5 способов выбрать позицию в последовательности из 5 объектов. Для наглядности, если выбрана позиция 2, то есть оба герба стоят на втором месте, это комбинация Р(ОО)РРР, если выбрана позиция 4 - РРР(ОО)Р.
Искомая вероятность: P=m/n=5/64=0.078P=m/n=5/64=0.078.

Способ 3. Формула Бернулли

Рассмотрим общую задачу о подбрасывании монет.
Пусть бросается nn монет (или, что тоже самое, монета бросается nn раз). Нужно вычислить вероятность того, что герб появится в точности kk раз.

Так как броски монет - события независимые (результат броска одной монеты не влияет на последующие броски), вероятность выпадения герба в каждом броске одинакова (и равна p=1/2=0.5p=1/2=0.5), то можно для вычисления вероятности применить формулу Бернулли:
P=Pn(k)=Ckn⋅pk⋅(1−p)n−k=Ckn⋅(1/2)k⋅(1−1/2)n−k=Ckn⋅(1/2)n.
P=Pn(k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k=Cnk⋅(1/2)k⋅(1−1/2)n−k=Cnk⋅(1/2)n.
То есть, мы вывели общую формулу, дающую ответ на вопрос "какова вероятность того, что герб появится в точности kk раз из nn" (запишем в трех эквивалентных видах, выбирайте удобный для себя):
P=Ckn⋅(1/2)n=Ckn2n=Ckn⋅0.5n,Ckn=n!k!(n−k)!.
P=Cnk⋅(1/2)n=Cnk2n=Cnk⋅0.5n,Cnk=n!k!(n−k)!.
А теперь все задачи решаются проще простого, вот глядите!

Пример 1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Подставляем n=2,k=1n=2,k=1 и получаем P=C12⋅(1/2)2=2⋅14=12=0.5.P=C21⋅(1/2)2=2⋅14=12=0.5.

Пример 4. Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет от 2 до 3 раз.

Это уже третий способ решения задачи!
Подставляем n=4,k=2n=4,k=2 и k=3k=3, получаем
P=C24⋅(1/2)4+C34⋅(1/2)4=(6+4)⋅116=1016=0.625.
P=C42⋅(1/2)4+C43⋅(1/2)4=(6+4)⋅116=1016=0.625.
Пример 7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Подставляем n=3,k=0n=3,k=0 и получаем P=C03⋅(1/2)3=1⋅18=18=0.125.P=C30⋅(1/2)3=1⋅18=18=0.125.

Пример 8. Пусть бросают 8 монет. Найти вероятность того, что орел не менее 7 раз.

Подставляем n=8,k=7n=8,k=7 и k=8k=8 и получаем
P=C88⋅(1/2)8+C78⋅(1/2)8=(1+8)⋅1256=9256=0.035.
P=C88⋅(1/2)8+C87⋅(1/2)8=(1+8)⋅1256=9256=0.035.
Таким образом, используя одну простейшую формулу, можно решать множество задач, причем неважно, 3 монеты бросается, или 30, сложность расчетов примерно одинакова. Но, если число бросков становится очень большим, удобнее использовать приближенные формулы Муавра-Лапласа, о которых можно узнать здесь.

Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:

где p - искомая вероятность, k - число устраивающих нас событий, n - общее число возможных событий.

Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку - достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа k и n . В этом и состоит вся сложность.

Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:

1. Метод перебора комбинаций - стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
2. Специальная формула вероятности - стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!

Метод перебора комбинаций

Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:

1. Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций - это n ;
2. Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации - получаем число k ;
3. Осталось найти вероятность: p = k : n .

К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 - 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры - и сами все поймете:

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.

Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O - орел, P - решка):

Итого n = 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:

Таких вариантов оказалось k = 2. Находим вероятность:

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Всего получилось n = 16 вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, k = 1. Осталось найти вероятность:

Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я - не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.

Специальная формула вероятности

Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:

Теорема. Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:

Где C n k - число сочетаний из n элементов по k , которое считается по формуле:

Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.

На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться - и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.

Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.

По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу:

Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Снова выписываем числа n и k . Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:

Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.

Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.

Пусть p 1 - вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:

Теперь найдем p 2 - вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:

Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2 . Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Начнем с обсуждения такого простейшего опыта, как бросание монеты, имея при этом в виду ввести естественным образом некоторые важные понятия теории вероятностей, опираясь на очевидные интуитивные соображения.

Любая теория имеет дело с идеализированными ситуациями. Например, подброшенная монета в реальном опыте может закатиться в щель, упасть на ребро или стать добычей пролетающей мимо вороны. Однако шансы таких событий крайне невелики, если пол не содержит щелей, монета тонкая, а двери и форточки закрыты для ворон. Но обо всем этом и подобном нужно договориться на берегу – прежде чем отправляться в плавание. Другими словами, нам следуем сформулировать математическую модель опыта.

Предположим также, что монета “правильная”, подразумевая под этим ее симметричность, однородность сплава, из которого она изготовлена и т.д. Тем самым мы исключаем из рассмотрения, например, такие монеты, у которых центр тяжести смещен к одной из сторон.

Если монета “правильная”, то никто не может знать, какой стороной она упадет. Однако из эксперимента известно, что если монету подбрасывать n раз и “орел” выпадает m раз, то отношение m / n приблизительно равно ½. Чем больше n , тем ближе это отношение к ½. В этом случае го­ворят, что апостериорная вероятность (или просто вероятность) выпадения “орла” равна ½.

Интуитивно понятно, что при большом количестве бросаний числа выпадений “орла” и “решки” должны быть приблизительно одинаковыми. Это означает, что априорная вероятность (т.е. предсказанная вероятность) выпадения “орла” равна ½, подразумевая под вероятнос­тью события наиболее правдоподобную долю исходов с данным результатом при повторении наблюдений в эквивалентных условиях.

В более общем случае, когда в эксперименте возможны n равноправных исходов, m из которых благоприятствуют наступлению некоторого события, априорная вероятность Р(А) события А определяется как отношение m / n :

Говоря об эксперименте, мы обычно имеем в виду воображаемый, а не реальный опыт. В этом смысле число m представляет собой наилучшую оценку на­иболее вероятного числа “успехов” в результате таких воображаемых наблюдений. В любой реальной серии испытаний, состоящих из подбрасываний монеты, число выпадений “орла” скорее всего не будет в точности равняться половине подбрасываний. Однако оценка 50 из 100 (или 200 из 400) представляется наиболее правдоподобной, поскольку у нас нет оснований полагать, что число выпадений “орла” при подбрасывании “правильной” монеты дол­жно быть больше или меньше числа выпадений “решки”.

Апостериорная и априорная вероятности должны совпадать друг с другом. В противном случае следует заключить, что какие-то из событий ошибочно рассматривались как равно­вероятные.

Когда бросается монета, можно сказать, что она упадет орлом вверх, или вероятность этого составляет 1/2. Конечно, это не означает того, что если монета подбрасывается 10 раз, она обязательно упадет вверх орлом 5 раз. Если монета является "честной" и если она подбрасывается много раз, то орел выпадет очень близко в половине случаев. Таким образом, существует два вида вероятностей: экспериментальная и теоретическая .

Экспериментальная и теоретическая вероятность

Если бросить монетку большое количество раз - скажем, 1000 - и посчитать, сколько раз выпадет орел, мы можем определить вероятность того, что выпадет орел. Если орел выпадет 503 раза, мы можем посчитать вероятность его выпадения:
503/1000, или 0,503.

Это экспериментальное определение вероятности. Такое определение вероятности вытекает из наблюдения и изучения данных и является довольно распространенным и очень полезным. Вот, к примеру, некоторые вероятности которые были определены экспериментально:

1. Вероятность того, что у женщины разовьется рак молочной железы составляет 1/11.

2. Если вы целуетесь, с кем-то, кто болен простудой, то вероятность того, что вы тоже заболеете простудой, составляет 0,07.

3. Человек, который только что был освобожден из тюрьмы, имеет 80% вероятности возвращения назад в тюрьму.

Если мы рассматриваем бросание монеты и беря во внимание то, что столь же вероятно, что выпадет орел или решка, мы можем вычислить вероятность выпадение орла: 1 / 2. Это теоретическое определение вероятности. Вот некоторые другие вероятности, которые были определены теоретически, с помощью математики:

1. Если находится 30 человек в комнате, вероятность того, что двое из них имеют одинаковый день рождения (исключая год), составляет 0,706.

2. Во время поездки, Вы встречаете кого-то, и в течение разговора обнаруживаете, что у вас есть общий знакомый. Типичная реакция: "Этого не может быть!". На самом деле, эта фраза не подходит, потому что вероятность такого события достаточно высока - чуть более 22%.

Таким образом, экспериментальная вероятность определяются путем наблюдения и сбора данных. Теоретические вероятности определяются путем математических рассуждений. Примеры экспериментальных и теоретических вероятностей, как например, рассмотренных выше, и особенно тех, которые мы не ожидаем, приводят нас, к ваэности изучения вероятности. Вы можете спросить: "Что такое истинная вероятность?" На самом деле, таковой нет. Экспериментально можно определить вероятности в определенных пределах. Они могут совпадать или не совпадать с вероятностями, которые мы получаем теоретически. Есть ситуации, в которых гораздо легче определить один из типов вероятности, чем другой. Например, было бы довольно найти вероятность простудиться, используя теоретическую вероятность.

Вычисление экспериментальных вероятностей

Рассмотрим сначала экспериментальное определение вероятности. Основной принцип, который мы используем для вычисления таких вероятностей, является следующим.

Принцип P (экспериментальный)

Если в опыте, в котором проводится n наблюдений, ситуация или событие Е происходит m раз за n наблюдений, то говорят, что экспериментальная вероятность события равна P (E) = m/n.

Пример 1 Социологический опрос. Было проведено экспериментальное исследование, чтобы определить количество левшей, правшей и людей, у которых обе руки развиты одинаково Результаты показаны на графике.

a) Определите вероятность того, что человек - правша.

b) Определите вероятность того, что человек - левша.

c) Определите вероятность того, что человек одинаково свободно владеет обеими руками.

d) В большинстве турниров, проводимых Профессиональной Ассоциацией Боулинга, участвуют 120 игроков. На основании данных этого эксперимента, сколько игроков могут быть левшой?

Решение

a)Число людей, являющиеся правшами, составляет 82, количество левшей составляет 17, а число тех, кто одинаково свободно владеет двумя руками - 1. Общее количество наблюдений - 100. Таким образом, вероятность того, что человек правша, есть Р
P = 82/100, или 0,82, или 82%.

b) Вероятность того, что человек левша, есть Р, где
P = 17/100, или 0,17, или 17%.

c) Вероятность того, что человек одинаково свободно владеет двумя руками составляет P, где
P = 1/100, или 0,01, или 1%.

d) 120 игроков в боулинг, и из (b) мы можем ожидать, что 17% - левши. Отсюда
17% от 120 = 0,17.120 = 20,4,
то есть мы можем ожидать, что около 20 игроков являются левшами.

Пример 2 Контроль качества . Для производителя очень важно держать качество своей продукции на высоком уровне. На самом деле, компании нанимают инспекторов контроля качества для обеспечения этого процесса. Целью является выпуск минимально возможного количества дефектных изделий. Но так как компания производит тысячи изделий каждый день, она не может позволить себе проверять каждое изделие, чтобы определить, бракованное оно или нет. Чтобы выяснить, какой процент продукции являются дефектным, компания проверяет гораздо меньше изделий.
Министерство сельского хозяйства США требует, чтобы 80% семян, которые продают производители, прорастали. Для определения качества семян, которые производит сельхозкомпания, высаживается 500 семян из тех, которые были произведены. После этого подсчитали, что 417 семян проросло.

a) Какова вероятность того, что семя прорастет?

b) Отвечают ли семена государственным стандартам?

Решение a) Мы знаем, что из 500 семян, которые были высажены, 417 проросли. Вероятность прорастания семян Р, и
P = 417/500 = 0,834, или 83.4%.

b) Так как процент проросших семян превысил 80% по требованию, семена отвечают государственным стандартам.

Пример 3 Телевизионные рейтинги. Согласно статистических данных, в Соединенных Штатах 105 500 000 домохозяйств с телевизорами. Каждую неделю, информация о просмотре передач собирается и обрабатывается. В течение одной недели 7815000 домохозяйств были настроены на популярный комедийный сериал "Все любят Реймонда" на CBS и 8302000 домохозяйств были настроены на популярный сериал «Закон и порядок» на NBC (Источник: Nielsen Media Research). Какова вероятность того, что телевизор одного дома настроен на «Everybody Loves Raymond" в течение данной недели? на «Закон и порядок»?

Решениеn Вероятность того, что телевизор в одном домохозяйстве настроен на "Все любят Реймонда" равна Р, и
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Возможность, что телевизор домохозяйства был настроен на «Закон и порядок» составляет P, и
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Эти проценты называются рейтингами.

Теоретическая вероятность

Предположим, что мы проводим эксперимент, такие, как бросание монетки ли дротиков, вытаскивание карты из колоды, или проверка изделий на качество на сборочной линии. Каждый возможный результат такого эксперимента называется исход . Множество всех возможных исходов называется пространством исходов . Событие это множество исходов, то есть подмножество пространства исходов.

Пример 4 Бросание дротиков. Предположим, что в эксперименте «метание дротиков» дротик попадает в мишень. Найдите каждое из нижеследующих:

b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы это: попадание в черное (Ч), попадание в красное (К) и попадание в белое (Б).

b) Пространство исходов есть {попадание в черное, попадание в красное, попадание в белое}, которое может быть записано просто как {Ч, К, Б}.

Пример 5 Бросание игральных костей. Игральная кость это куб с шестью гранями, на каждой их которых нарисовано от одной до шести точек.


Предположим, что мы бросаем игральную кость. Найдите
a) Исходы
b) Пространство исходов

Решение
a) Исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Пространство исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Мы обозначаем вероятность того, что событие Е случается в качестве Р (Е). Например, "монета упадет решкой" можно обозначать H. Тогда Р (Н) представляет собой вероятность того, монета упадет решкой. Когда все исходы эксперимента имеют одинаковую вероятность появления, говорят, что они равновероятны. Чтобы увидеть различия между событиями, которые равновероятны, и неравновероятными событиями, рассмотрим мишень, изображенную ниже.

Для мишени A, события попадания в черное, красное и белое равновероятны, так как черные, красные и белые сектора - одинаковые. Однако, для мишени B зоны с этими цветами не одинаковы, то есть попадание в них не равновероятно.

Принцип P (Теоретический)

Если событие E может случиться m путями из n возможных равновероятных исходов из пространства исходов S, тогда теоретическая вероятность события, P(E) составляет
P(E) = m/n.

Пример 6 Какая вероятность выкинуть 3, бросив игральный кубик?

Решение На игральном кубике 6 равновероятных исходов и существует только одна возможность выбрасивания цифры 3. Тогда вероятность P составит P(3) = 1/6.

Пример 7 Какая вероятность выбрасывания четной цифры на игральном кубике?

Решение Событие - это выбрасывание четной цифры. Это может случиться 3 способами (если выпадет 2, 4 или 6). Число равновероятных исходов равно 6. Тогда вероятность P(четное) = 3/6, или 1/2.

Мы будем использовать ряд примеров, связанных со стандартной колодой из 52 карт. Такая колода состоит из карт, показанных на рисунке ниже.

Пример 8 Какая вероятность вытянуть туза из хорошо перемешанной колоды карт?

Решение Существует 52 исхода (количество карт в колоде), они равновероятны (если колода хорошо перемешана), и есть 4 способа вытянуть туза, поэтому согласно принципу P, вероятность
P(вытягивания туза) = 4/52, или 1/13.

Пример 9 Предположим, что мы выбираем не глядя, один шарик из мешка с 3-мя красными шариками и 4-мя зелеными шариками. Какова вероятность выбора красного шарика?

Решение Существует 7 равновероятных исходов достать любой шарик, и так как число способов вытянуть красный шарик равно 3, получим
P(выбора красного шарика) = 3/7.

Следующие утверждения - это результаты из принципа P.

Свойства вероятности

a) Если событие E не может случиться, тогда P(E) = 0.
b) Если событие E случиться непременно тогда P(E) = 1.
c) Вероятность того, что событие Е произойдет это число от 0 до 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Например, в бросании монеты, событие, когда монета упадет на ребро имеет нулевую вероятность. Вероятность того, что монета либо на орел или решку имеет вероятность 1.

Пример 10 Предположим, что вытягиваются 2 карты из колоды с 52-мя картами. Какова вероятность того, что обе из них пики?

Решение Число путей n вытягивания 2 карт из хорошо перемешанной колоды с 52 картами есть 52 C 2 . Так как 13 из 52 карт являются пиками, число способов m вытягивания 2-х пик есть 13 C 2 . Тогда,
P(вытягивания 2-х пик)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Пример 11 Предположим, что 3 человека выбираются случайно из группы, состоящей из 6-ти мужчин и 4-х женщин. Какова вероятность того, что будут выбраны 1 мужчина и 2 женщины?

Решение Число способов выбора троих человек из группы 10 человек 10 C 3 . Один мужчина может быть выбран 6 C 1 способами, и 2 женщины могут быть выбраны 4 C 2 способами. Согласно фундаментальному принципу подсчета, число способов выбора 1-го мужчины и 2-х женщин 6 C 1 . 4 C 2 . Тогда, вероятность что будет выбраны 1-го мужчины и 2-х женщин есть
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Пример 12 Бросание игральных кубиков. Какая вероятность выбрасывания в сумме 8 на двух игральных кубиках?

Решение На каждом игральном кубике есть 6 возможных исходов. Исходы удваиваются, то есть существует 6.6 или 36 возможных способа, в котором могут выпасть цифры на двух кубиках. (Лучше, если кубики разные, скажем один красный а второй голубой - это поможет визуализировать результат.)

Пары цифр, в сумме составляющие 8, показаны на рисунке внизу. Есть 5 возможных способов получения суммы, равной 8, отсюда вероятность равна 5/36.