Дробно рациональные уравнения 9. Рациональное уравнение. Исчерпывающий гид (2019). Решение дробных рациональных уравнений

21.12.2023

Дробные рациональные уравнения (9 класс)

Учитель математики Климочкина Г.Н.

Цель: продолжить формирование умения решать дробно-рациональные уравнения, используя алгоритм, известный учащимся из курса 8 класса.

Ход урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, проверка присутствующих, общий настрой на урок.

Сегодня на уроке мне хотелось бы пригласить поглубже заглянуть в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.

Девиз урока: Силу уму придают упражнения, а не покой. ( Александр Поуп)

Запишите: число, классная работа, тему урока «Дробные рациональные уравнения».

II. Объяснение нового материала.

Объяснение материала проводится в несколько э т а п о в.

1. И з у ч е н и е п о н я т и я дробно-рационального уравнения. Усвоение данного понятия проверяется при решении упражнения на распознавание этого вида уравнений.

З а д а н и е.

1). Какие из следующих уравнений являются дробно-рациональными? Ответ объясните.

а) ; г) ;

б) ; д) ;

в) ; е) .

2). Верно ли, что выражение обращается в нуль:

а) при х = 2; б) при х = –5; в) при х = 1.

2. У с л о в и е р а в е н с т в а д р о б и н у л ю .

При каком значении переменной дробь равна нулю?

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель при этом нулю не равен.

Х³ - 25х = 0,

Х(х² - 25) = 0,

Х = 0, х = ±5.

Если х = 0, то х² - 6х + 5 ≠ 0,

Если х = -5, то х² - 6х + 5 ≠ 0,

Если х = 5, то х² - 6х + 5 = 0.

Ответ: при х = 0, х = -5.

3. Вывод алгоритма решения дробно-рациональных уравнений. Алгоритм приведен на с. 78 учебника. (Желательно, чтобы учащиеся занесли его в тетрадь.)

3. Рассмотрение примеров решения дробно-рациональных уравнений по изученному алгоритму (пример 1 и пример 3 из учебника).

III. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

1. Устно (работа со слайдами):

2. Письменно:

1. № 288 (а), № 289 (а).

2. № 290 (а), № 292 (а).

3. № 291 (в).

4. № 296 (а).

IV. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какие уравнения называются дробно-рациональными?

– Являются ли следующие уравнения дробно-рациональными:

– Опишите алгоритм решения дробно-рациональных уравнений.

Домашнее задание: № 289 (б), № 290 (б), № 291 (б), № 296 (б).

РЕШЕНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цели урока: Обучающая:

формирование понятия дробно- рационального уравнения; рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений; рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений. обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму; проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы. Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом; Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету; воспитание самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов. Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент. Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений мы умеем решать? Какие нет и почему?

8.
Как называются выражения из которых составлены 5,6, 7 и 8 уравнения? (дробно-рациональными)Уравнения, в которых левая и правая части, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Попробуйте сформулировать тему нашего урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».Давайте сформулируем цели нашего урока (дети самостоятельно формулируют цели урока)А сейчас мы повторим основной теоретический материл , который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)

Линейное

Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель

Квадратное.

о формулам, используя теорему Виета и ее следствия

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному

3. Объяснение нового материала. Итак , на нашем уроке вы не просто ученики 9 класса, а представители одного из трех племен. Как вы думаете, почему я их так назвала? (правильно, потому что при решении уравнений вы будете пользоваться определенными правилами. Что же это за правила? Попробуйте мне их сформулировать:

Равенство двух отношений

Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов

Карточка 1:

ИСПОЛЬЗУЯ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Произведение средних членов равно произведению

крайних членов пропорции.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

Карточка 2: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

на одно и то же отличное от нуля число.

Племя «Знаменатель» решает методом умножения на общий, не равный нулю знаменатель.

Карточка 3: РЕШИТЬ ДРОБНОЕ РАЦИОНАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,

УМНОЖЕНИЕМ НА ОБЩИЙ ЗНАМЕНАТЕЛЬ

Обе части уравнения можно умножить или разделить

на одно и то же отличное от нуля число.

После решения и обсуждения в группах один представитель от каждой группы выходит к доске и записывает решение уравнения на доске. / *4х ОДЗ : х≠0 х²-4=6х-4 2х³-8х=12х²-8х
х²-6х=0 2х³-12х²=0
х=0 или х=6 2х²(х-6)=0
Ответ: х=0, х=6 х=0, х=6 х²-6х=0 х=0, х=6 Ответ: х=0, х=6 4х≠ 0 х ≠0 Ответ: х=6 Если получились разные ответы, то задаю наводящие вопросы: Сравниваем ответы. Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае два корня, в другом – один? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения? (До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.)

В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-8 – выражения с переменной

Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство

Сделать проверку

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что число 0 не является корнем данного уравнения. Возникает вопрос : что же необходимо добавить в каждый из этих способов, чтобы исключить данную ошибку? (исключить посторонние корни) ------ дописываем на доске неравенство знаменателя нулю или ОДЗ).Здесь мы столкнулись с понятием постороннего корня , т. е. это значение переменной, которое не входит в область определения дробно-рационального выражения.Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данными способами. Рассмотрим первый способ: равенство дроби нулю. Дети сами формулируют алгоритм 1. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть. Привести дроби к общему знаменателю. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решить уравнение. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни. Записать ответ. Как оформить решение, если используется основное свойство пропорции?Алгоритм решения дробных рациональных уравнений. 1. Воспользоваться свойством пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. 2. Решить полученное целое уравнение. 3. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 4. Записать ответ.Как оформить решение, если используется умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель?3. Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю. Решить получившееся целое уравнение. Исключить из корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 5. Записать ответ.

Назовите у каждого уравнения ОДЗ. Мы с вами рассмотрели три способа решения дробных рациональных уравнений. (Работа в группах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доскеа) Ответ: х =1, х =б) Ответ: а=3,5в) Ответ: х = -3, х =2г) -5 – посторонний корень. Ответ: х = 5;5. Подведение итогов урока. Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы. Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Но, независимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Постановка домашнего задания.

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Новоселицкая МОУ СОШ №1

« Решение дробных рациональных уравнений».

Открытый урок в 9 А классе

Учитель математики Демиденко Н.Ю.

С. Новоселицкое 2015год.

Тема урока : Решение дробных рациональных уравнений .(Слайд 1)

Цели и задачи урока:

Образовательные:

закрепление понятия дробного рационального уравнения;

продолжить формирование умений решать дробные рациональные уравнения;

повторить решение линейных уравнений;

повторить решение квадратичных уравнений.

Развивающие:

развитие памяти обучающихся;

развитие умений преодолевать трудности при решении математических задач;

развитие любознательности;

развитие логического мышления, внимания, умений анализировать, сравнивать и делать выводы;

развивать интерес к предмету.

Воспитательные:

формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, дисциплинированность, порядочность, правдивость;

содействовать формированию системы знаний, представлений, понятий;

воспитание познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Форма проведения: урок-практикум.

Оборудование урока: ПК, проектор, файл MS Excel , содержащий тестовые задания, презентация.

Проверка домашнего задания

ОТВЕТЬ НА ВОПРОСЫ (Слайд 2)

сколько модулей в тесте ОГЭ? Какие это модули?

Сколько баллов нужно набрать для успешного прохождения экзамена?

Сформулируйте тему нашего урока.

«Решение уравнений» (Слайд 3)

продолжи предложение:

уравнением называется….

корнем уравнения называется…

Устный счет (Слайд 4)

1) х+3=0;

2) 3(х-7)=0 ;

3) х(х-1)(х+3)(х-9)=0;

4) х³-9х=0;

5) 7х²=0;

6) х²-5=0;

7) -7х²=28.

ПОВТОРИМ (Слайд 5)

1. Как называется данное уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

2. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение?

3. Скажите, какой степени это уравнение? Сколько корней имеет данное уравнение? (х 3 – 1) 2 + х 5 – х 6 = 2

4. Как называется данное уравнение?

5. Как найти степень целого уравнения? (х 3 – 3) 2 + 5х 2 = 0

ПРОДОЛЖИТЬ ФРАЗУ (Слайд 6)

Квадратное уравнение имеет 2 корня, если……

Квадратное уравнение имеет 2 равных корня (или один корень) , если……

Квадратное уравнение не имеет корней, если……

Область допустимых значений дробно-рационального уравнения это…..

УКАЖИТЕ ОДЗ УРАВНЕНИЙ (Слайд 7)

а) 2(1-х²) +3х -4 =0;

б) х - 3 = х² - х +1 ;

4 2

в) х² - х - 7 = х +8;

г) 2х - 4 = 3__;

х² +1 х +1

д) 3х + 1 = х;

х -1

Запомни алгоритмы решения уравнений! (Слайд 8)

Уравнение y ( x ) =0 называют дробным рациональным уравнением , если выражение y ( x ) является дробным

(т.е. содержит деление на выражение с переменными). (Слайд 9)

Алгоритмы решения дробных рациональных уравнений! (Слайд 10)

Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

Решить получившееся уравнение.

5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения

Пример №1: (Слайд 11,12)

(Слайд 13) Пример № 2: Ким Вариант № 6, задание № 21

(х-2)(х 2 +8х+16) = 7(х+4)

(Слайд 14) ФИЗКУЛЬТМИНУТКА для глаз

(Слайд 15-19) Самостоятельная тестовая работа

1.Среди данных уравнений выберите то, которое не является дробным рациональным:

1) ;

3) .

(3)

2.При каких значениях переменной х уравнение не имеет смысла:

1) -2;

2) -2 и -1;

3) всегда имеет смысл.

(Слайд 20) Учитель: Проверьте свой результат (на экран выводится таблица с правильными ответами).

Давайте сверим ответы с ответами на доске. На листочках ставим «+» или «-», в зависимости от правильности выполнения. Поставьте себе оценки:

все сделано правильно – «5»;

одна ошибка – «4»;

сделано две ошибки - «3»;

выполнено менее 3-х заданий – «2».

(Слайд 21) Домашнее задание

Тесты

Вариант 20-30 № 4 (уравнения)

А закончить наш урок хотелось бы словами великого ученого А.Эйнштейна: «Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

(Слайд 22) Самостоятельная работа

Похожие статьи: