Trojúhelník je známá postava. A to i přes bohatou rozmanitost jeho forem. Obdélníkové, rovnostranné, ostré, rovnoramenné, tupé. Každý z nich je poněkud jiný. Ale pro všechny je nutné znát oblast trojúhelníku.

Společné vzorce pro všechny trojúhelníky, které používají délky stran nebo výšky

Označení v nich přijatá: strany - a, b, c; výšky na odpovídajících stranách na a, n in, n s.

1. Plocha trojúhelníku se vypočítá jako součin ½, strany a výšky na něj spuštěné. S = ½ * a * n a. Podobně by se měly psát vzorce pro další dvě strany.

2. Heronův vzorec, ve kterém se objevuje půlobvod (je zvykem jej označovat malým písmenem p, na rozdíl od celého obvodu). Poloobvod je třeba vypočítat následovně: sečtěte všechny strany a vydělte je 2. Vzorec pro semiobvod: p \u003d (a + b + c) / 2. Pak rovnost pro oblast \ u200b\u200bobrázek vypadá takto: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Pokud nechcete použít poloobvod, bude se vám hodit takový vzorec, ve kterém jsou přítomny pouze délky stran: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Je o něco delší než předchozí, ale pomůže, když zapomenete najít poloobvod.

Obecné vzorce, ve kterých se objevují úhly trojúhelníku

Zápis, který je nutný ke čtení vzorců: α, β, γ - úhly. Leží na opačných stranách a, b, c.

1. Podle něj se polovina součinu dvou stran a sinus úhlu mezi nimi rovná ploše trojúhelníku. To znamená: S = ½ a * b * sin γ. Vzorce pro další dva případy by měly být napsány podobným způsobem.

2. Plochu trojúhelníku lze vypočítat z jedné strany a tří známých úhlů. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Existuje také vzorec s jednou známou stranou a dvěma úhly, které k ní přiléhají. Vypadá to takto: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Poslední dva vzorce nejsou nejjednodušší. Je docela těžké si je zapamatovat.

Obecné vzorce pro situaci, kdy jsou známy poloměry kružnic vepsaných nebo opsaných

Další označení: r, R — poloměry. První se používá pro poloměr vepsané kružnice. Druhá je pro tu popsanou.

1. První vzorec, podle kterého se vypočítá plocha trojúhelníku, souvisí s poloobvodem. S = r * r. Jiným způsobem to lze zapsat takto: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Ve druhém případě budete muset vynásobit všechny strany trojúhelníku a vydělit je čtyřnásobným poloměrem kružnice opsané. Doslovně to vypadá takto: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Třetí situace vám umožňuje obejít se bez znalosti stran, ale potřebujete hodnoty všech tří úhlů. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Zvláštní případ: pravoúhlý trojúhelník

Toto je nejjednodušší situace, protože je vyžadována pouze délka obou nohou. Označují se latinskými písmeny a a b. Náměstí pravoúhlý trojuhelník rovná se polovině plochy přidaného obdélníku.

Matematicky to vypadá takto: S = ½ a * b. Je nejsnáze zapamatovatelná. Protože to vypadá jako vzorec pro oblast obdélníku, objeví se pouze zlomek označující polovinu.

Zvláštní případ: rovnoramenný trojúhelník

Protože jsou jeho dvě strany stejné, některé vzorce pro jeho plochu vypadají poněkud zjednodušeně. Například Heronův vzorec, který vypočítá plochu rovnoramenný trojúhelník, má následující podobu:

S = 1/2 palce √((a + 1/2 palce)*(a - 1/2 palce)).

Pokud jej převedete, bude kratší. V tomto případě je Heronův vzorec pro rovnoramenný trojúhelník napsán takto:

S = ¼ v √(4 * a 2 - b 2).

Plošný vzorec vypadá poněkud jednodušeji než pro libovolný trojúhelník, pokud jsou známy strany a úhel mezi nimi. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Zvláštní případ: rovnostranný trojúhelník

Obvykle je v problémech o něm strana známá nebo může být nějak rozpoznána. Pak vzorec pro nalezení oblasti takového trojúhelníku je následující:

S = (a 2 √3) / 4.

Úkoly k nalezení oblasti, pokud je trojúhelník zobrazen na kostkovaném papíře

Nejjednodušší situace je, když je nakreslen pravoúhlý trojúhelník tak, aby se jeho nohy kryly s čarami papíru. Pak už jen stačí spočítat počet buněk, které se do nohou vejdou. Pak je vynásobte a vydělte dvěma.

Když je trojúhelník ostrý nebo tupý, musí být nakreslen na obdélník. Pak ve výsledném obrázku budou 3 trojúhelníky. Jeden je ten, který je uveden v úkolu. A další dva jsou pomocné a obdélníkové. Plochy posledních dvou musí být stanoveny výše popsanou metodou. Poté vypočítejte plochu obdélníku a odečtěte od ní hodnoty vypočítané pro pomocné. Je určena plocha trojúhelníku.

Mnohem obtížnější je situace, kdy se žádná ze stran trojúhelníku nekryje s čarami papíru. Poté musí být vepsán do obdélníku tak, aby vrcholy původního obrazce ležely po jeho stranách. V tomto případě budou tři pomocné pravoúhlé trojúhelníky.

Příklad problému na Heronově vzorci

Stav. Některé trojúhelníky mají strany. Jsou rovny 3, 5 a 6 cm.Je třeba zjistit jeho plochu.

Nyní můžete vypočítat plochu trojúhelníku pomocí výše uvedeného vzorce. Pod druhou odmocninou je součin čtyř čísel: 7, 4, 2 a 1. To znamená, že plocha je √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Pokud nepotřebujete větší přesnost, můžete vzít druhou odmocninu ze 14. Je to 3,74. Potom bude plocha rovna 7,48.

Odpovědět. S \u003d 2 √14 cm 2 nebo 7,48 cm 2.

Příklad problému s pravoúhlým trojúhelníkem

Stav. Jedna noha pravoúhlého trojúhelníku je o 31 cm delší než druhá. Je nutné zjistit jejich délky, pokud je plocha trojúhelníku 180 cm 2.
Řešení. Musíte vyřešit soustavu dvou rovnic. První souvisí s oblastí. Druhý je s poměrem nohou, který je dán v problému.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Nejprve je třeba do první rovnice dosadit hodnotu "a". Ukázalo se: 180 \u003d ½ (in + 31) * palců. Má pouze jednu neznámou veličinu, takže je snadno řešitelný. Po otevření závorek dostaneme kvadratická rovnice: in 2 + 31 in - 360 = 0. Dává dvě hodnoty pro "in": 9 a - 40. Druhé číslo není vhodné jako odpověď, protože délka strany trojúhelníku nemůže být záporná hodnota.

Zbývá vypočítat druhou větev: k výslednému číslu přičtěte 31. Ukáže se 40. Toto jsou veličiny hledané v úloze.

Odpovědět. Nohy trojúhelníku jsou 9 a 40 cm.

Úkol najít stranu přes plochu, stranu a úhel trojúhelníku

Stav. Plocha nějakého trojúhelníku je 60 cm2. Je nutné vypočítat jednu z jejích stran, pokud je druhá strana 15 cm a úhel mezi nimi je 30 °.

Řešení. Na základě přijatých označení je požadovaná strana „a“, známá „b“, daný úhel je „γ“. Poté lze vzorec oblasti přepsat následovně:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Zde je sinus 30 stupňů 0,5.

Po transformacích se "a" rovná 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odpovědět. Požadovaná strana je 16 cm.

Úloha čtverce vepsaného do pravoúhlého trojúhelníku

Stav. Vrchol čtverce o straně 24 cm se shoduje s pravým úhlem trojúhelníku. Další dva leží na nohách. Třetí patří do přepony. Délka jedné z nohou je 42 cm. Jaká je plocha pravoúhlého trojúhelníku?

Řešení. Uvažujme dva pravoúhlé trojúhelníky. První je specifikován v úloze. Druhý je založen na známé noze původního trojúhelníku. Jsou si podobné, protože mají společný úhel a jsou tvořeny rovnoběžnými čarami.

Pak jsou poměry jejich nohou stejné. Nohy menšího trojúhelníku jsou 24 cm (strana čtverce) a 18 cm (daná noha 42 cm mínus strana čtverce 24 cm). Odpovídající nohy velkého trojúhelníku jsou 42 cm a x cm. Právě toto "x" je potřeba k výpočtu plochy trojúhelníku.

18/42 \u003d 24 / x, tj. x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Potom se plocha rovná součinu 56 a 42, děleno dvěma, tedy 1176 cm2.

Odpovědět. Požadovaná plocha je 1176 cm2.

Trojúhelník je jedním z nejběžnějších geometrické tvary, které známe v základní škola. Otázku, jak najít oblast trojúhelníku, řeší každý student v hodinách geometrie. Jaké jsou tedy vlastnosti nalezení oblasti daného obrázku, kterou lze rozlišit? V tomto článku zvážíme základní vzorce nezbytné k dokončení takového úkolu a také analyzujeme typy trojúhelníků.

Typy trojúhelníků

Můžete absolutně najít oblast trojúhelníku různé způsoby, protože v geometrii existuje více než jeden typ obrazce obsahující tři úhly. Mezi tyto typy patří:

• tupý.
• Rovnostranné (správné).
• Pravoúhlý trojuhelník.
• Rovnoramenné.

Podívejme se blíže na každou z nich stávající typy trojúhelníky.

Takový geometrický obrazec je považován za nejběžnější při řešení geometrických problémů. Když je nutné nakreslit libovolný trojúhelník, tato možnost přichází na záchranu.

V ostrém trojúhelníku, jak název napovídá, jsou všechny úhly ostré a jejich součet je 180°.

Takový trojúhelník je také velmi běžný, ale je poněkud méně běžný než trojúhelník s ostrým úhlem. Například při řešení trojúhelníků (to znamená, že znáte několik jeho stran a úhlů a potřebujete najít zbývající prvky), někdy potřebujete určit, zda je úhel tupý nebo ne. Kosinus je záporné číslo.

V hodnotě jednoho z úhlů přesahuje 90°, takže zbývající dva úhly mohou nabývat malých hodnot (například 15° nebo dokonce 3°).

Chcete-li najít oblast trojúhelníku tohoto typu, musíte znát některé nuance, o kterých budeme hovořit dále.

Pravidelné a rovnoramenné trojúhelníky

Pravidelný mnohoúhelník je obrazec, který obsahuje n úhlů, ve kterých jsou všechny strany a úhly stejné. Toto je pravoúhlý trojúhelník. Protože součet všech úhlů trojúhelníku je 180°, je každý ze tří úhlů 60°.

Pravoúhlý trojúhelník se pro svou vlastnost nazývá také rovnostranný obrazec.

Za zmínku také stojí, že do pravidelného trojúhelníku lze vepsat pouze jednu kružnici a pouze jednu kružnici kolem něj opsat a jejich středy se nacházejí v jednom bodě.

Kromě rovnostranného typu lze rozlišit také rovnoramenný trojúhelník, který se od něj mírně liší. V takovém trojúhelníku jsou dvě strany a dva úhly stejné a třetí strana (ke které přiléhají stejné úhly) je základna.

Obrázek ukazuje rovnoramenný trojúhelník DEF, jehož úhly D a F jsou stejné a DF je základna.

Pravoúhlý trojuhelník

Pravoúhlý trojúhelník se tak nazývá, protože jeden z jeho úhlů je pravý úhel, tedy rovný 90°. Další dva úhly tvoří dohromady 90°.

Nejvíc velká párty takového trojúhelníku ležící naproti úhlu 90° je přepona, zatímco další dvě jeho strany jsou nohy. Pro tento typ trojúhelníků platí Pythagorova věta:

Součet druhých mocnin délek nohou se rovná druhé mocnině délky přepony.

Obrázek ukazuje pravoúhlý trojúhelník BAC s přeponou AC a nohami AB a BC.

Chcete-li najít oblast trojúhelníku s pravým úhlem, musíte znát číselné hodnoty jeho nohou.

Přejděme k vzorcům pro nalezení oblasti daného obrázku.

Základní vzorce pro zjištění oblasti

V geometrii lze rozlišit dva vzorce, které jsou vhodné pro nalezení oblasti většiny typů trojúhelníků, a to pro ostroúhlé, tupoúhlé, pravidelné a rovnoramenné trojúhelníky. Pojďme analyzovat každý z nich.

Na bok a na výšku

Tento vzorec je univerzální pro nalezení oblasti postavy, kterou zvažujeme. K tomu stačí znát délku strany a délku k ní nakreslené výšky. Samotný vzorec (polovina součinu základny a výšky) je následující:

kde A je strana daného trojúhelníku a H je výška trojúhelníku.

Chcete-li například najít oblast ostroúhlého trojúhelníku ACB, musíte vynásobit jeho stranu AB výškou CD a výslednou hodnotu vydělit dvěma.

Není však vždy snadné tímto způsobem najít oblast trojúhelníku. Chcete-li například použít tento vzorec pro tupoúhlý trojúhelník, musíte pokračovat na jedné z jeho stran a teprve potom k ní nakreslit výšku.

V praxi se tento vzorec používá častěji než ostatní.

Dvě strany a roh

Tento vzorec, stejně jako předchozí, je vhodný pro většinu trojúhelníků a ve svém významu je důsledkem vzorce pro zjištění plochy strany a výšky trojúhelníku. To znamená, že uvažovaný vzorec lze snadno odvodit z předchozího. Jeho znění vypadá takto:

S = ½*sinO*A*B,

kde A a B jsou strany trojúhelníku a O je úhel mezi stranami A a B.

Připomeňme, že sinus úhlu lze zobrazit ve speciální tabulce pojmenované po vynikajícím sovětském matematikovi V. M. Bradisovi.

A nyní přejděme k dalším vzorcům, které jsou vhodné pouze pro výjimečné typy trojúhelníků.

Oblast pravoúhlého trojúhelníku

Kromě univerzálního vzorce, který zahrnuje potřebu nakreslit výšku v trojúhelníku, lze z jeho nohou nalézt oblast trojúhelníku obsahujícího pravý úhel.

Takže plocha trojúhelníku obsahujícího pravý úhel je polovina součinu jeho nohou, nebo:

kde a a b jsou nohy pravoúhlého trojúhelníku.

pravoúhlý trojuhelník

Tento typ geometrických obrazců se vyznačuje tím, že jeho obsah lze nalézt se zadanou hodnotou pouze jedné z jeho stran (protože všechny strany pravidelného trojúhelníku jsou stejné). Po setkání s úkolem „najít oblast trojúhelníku, když jsou strany stejné“, musíte použít následující vzorec:

S = A 2 *√3 / 4,

kde A je strana rovnostranného trojúhelníku.

Heronův vzorec

Poslední možností, jak najít oblast trojúhelníku, je Heronův vzorec. Abyste jej mohli použít, musíte znát délky tří stran obrázku. Heronův vzorec vypadá takto:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

kde a, b a c jsou strany daného trojúhelníku.

Někdy je zadán úkol: "oblast pravidelného trojúhelníku je najít délku jeho strany." V tento případ pro nalezení oblasti pravidelného trojúhelníku musíte použít vzorec, který je nám již znám, a odvodit z něj hodnotu strany (nebo její čtverec):

A 2 \u003d 4S / √3.

Problémy se zkouškou

V úlohách GIA v matematice je mnoho vzorců. Kromě toho je často nutné najít oblast trojúhelníku na kostkovaném papíře.

V tomto případě je nejvhodnější nakreslit výšku na jednu ze stran obrázku, určit jeho délku podle buněk a použít univerzální vzorec pro nalezení oblasti:

Takže po prostudování vzorců uvedených v článku nebudete mít problémy s nalezením oblasti trojúhelníku jakéhokoli druhu.

Školní vzdělávací program zajišťuje výuku dětí geometrie s nízký věk. Jednou z nejzákladnějších znalostí této oblasti je nalezení oblasti různých postav. V tomto článku se pokusíme uvést všechny možné způsoby získání této hodnoty, od nejjednodušších po nejsložitější.

Základ

První vzorec, který se děti učí ve škole, zahrnuje nalezení oblasti trojúhelníku z hlediska délky jeho výšky a základny. Výška je úsečka vedená z vrcholu trojúhelníku v pravém úhlu k opačné straně, která bude základnou. Jak z těchto hodnot najít oblast trojúhelníku?

Je-li V výška a O základna, pak je plocha S=V*O:2.

Další možnost pro získání požadované hodnoty vyžaduje, abychom znali délky obou stran a také úhel mezi nimi. Pokud máme L a M - délky stran a Q - úhel mezi nimi, pak můžete získat plochu pomocí vzorce S=(L*M*sin(Q))/2.

Heronův vzorec

Kromě všech ostatních odpovědí na otázku, jak vypočítat plochu trojúhelníku, existuje vzorec, který nám umožňuje získat hodnotu, kterou potřebujeme, přičemž známe pouze délky stran. To znamená, že pokud známe délky všech stran, pak nemusíme kreslit výšku a počítat její délku. Můžeme použít tzv. Heronův vzorec.

Pokud jsou M, N, L délky stran, pak můžeme najít oblast trojúhelníku následovně. P \u003d (M + N + L) / 2, pak hodnotu, kterou potřebujeme S 2 \u003d P * (P-M) * (P-L) * (P-N). V důsledku toho musíme vypočítat pouze kořen.

Pro pravoúhlý trojúhelník je Heronův vzorec mírně zjednodušen. Jestliže M, L jsou nohy, pak S=(P-M)*(P-L).

kruhy

Dalším způsobem, jak najít oblast trojúhelníku, je použít vepsané a opsané kružnice. Abychom získali hodnotu, kterou potřebujeme pomocí vepsané kružnice, musíme znát její poloměr. Označme to "r". Pak vzorec, podle kterého provedeme výpočty, bude mít následující tvar: S \u003d r * P, kde P je polovina součtu délek všech stran.

V pravoúhlém trojúhelníku je tento vzorec mírně přeměněn. Samozřejmě můžete použít výše uvedené, ale pro výpočty je lepší použít jiný výraz. S=E*W, kde E a W jsou délky úseků, na které je přepona rozdělena tečným bodem kružnice.

Když už mluvíme o opsaném kruhu, nalezení oblasti trojúhelníku také není obtížné. Zadáním označení R jako poloměru kružnice opsané můžete získat následující vzorec potřebný pro výpočet požadované hodnoty: S= (M*N*L):(4*R). Kde první tři veličiny jsou strany trojúhelníku.

Když už mluvíme o rovnostranném trojúhelníku, díky řadě jednoduchých matematických transformací lze získat mírně upravené vzorce:

S = (3 1/2 * M 2)/4;

S=(3x31/2*R2)/4;

S = 3*3 1/2 *r2.

V každém případě lze jakýkoli vzorec, který vám umožní najít oblast trojúhelníku, změnit v souladu s daným problémem. Takže všechny písemné výrazy nejsou absolutní. Při řešení problémů přemýšlejte, abyste našli nejvhodnější způsob, jak je vyřešit.

Souřadnice

Při studiu souřadnicové osy Výzvy, kterým studenti čelí, jsou stále obtížnější. Ne však dost k panice. Chcete-li najít oblast trojúhelníku podle souřadnic vrcholů, můžete použít stejný, ale mírně upravený vzorec Heron. Pro souřadnice má následující tvar:

S=((x2-x1)2*(y2-y1)2*(z2-z1)2) 1/2.

Nikdo však nezakazuje pomocí souřadnic vypočítat délky stran trojúhelníku a poté pomocí vzorců, které byly napsány výše, vypočítat plochu. Chcete-li převést souřadnice na délku, použijte následující vzorec:

l=((x2-x1)2+(y2-y1)2) 1/2.

Poznámky

V článku byl použit standardní zápis pro veličiny, které se používají v podmínkách většiny problémů. V tomto případě stupeň "1/2" znamená, že musíte extrahovat kořen z celého výrazu pod závorkami.

Při výběru vzorce buďte opatrní. Některé z nich ztrácejí svou relevanci v závislosti na počátečních podmínkách. Například vzorec kružnice opsané. Výsledek je schopen vám spočítat v každém případě, nicméně může nastat situace, kdy trojúhelník s danými parametry nemusí vůbec existovat.

Pokud sedíte doma a děláte domácí práce pak můžete použít online kalkulačku. Mnoho webů poskytuje možnost vypočítat různé hodnoty pro dané parametry a nezáleží na tom, které. Do polí stačí zadat počáteční údaje a počítač (webová stránka) vám spočítá výsledek. Můžete se tak vyhnout chybám způsobeným nepozorností.

Doufáme, že náš článek odpověděl na všechny vaše otázky týkající se výpočtu plochy různých trojúhelníků a nemusíte hledat další informace jinde. Hodně štěstí při studiu!

Z opačného vrcholu) a výsledný produkt vydělte dvěma. Ve formě to vypadá takto:

S = ½ * a * h,

Kde:
S je obsah trojúhelníku,
a je délka jeho strany,
h je výška snížená na tuto stranu.

Délka a výška strany musí být uvedeny ve stejných jednotkách. V tomto případě se plocha trojúhelníku ukáže v odpovídajících jednotkách "".

Příklad.
Na jedné ze stran zmenšeného trojúhelníku o délce 20 cm je spuštěna kolmice z protějšího vrcholu o délce 10 cm.
Je vyžadována plocha trojúhelníku.
Řešení.
S = 1/2 x 20 x 10 = 100 (cm2).

Pokud znáte délky libovolných dvou stran zmenšeného trojúhelníku a úhel mezi nimi, použijte vzorec:

S = ½ * a * b * sinγ,

kde: a, b jsou délky dvou libovolných stran a γ je úhel mezi nimi.

V praxi, například při měření pozemku, je použití výše uvedených vzorců někdy obtížné, protože vyžaduje dodatečné konstrukce a měření úhlů.

Pokud znáte délky všech tří stran scalenového trojúhelníku, použijte Heronův vzorec:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c jsou délky stran trojúhelníku,
р – poloobvod: p = (a+b+c)/2.

Pokud je kromě délek všech stran znám i poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku, použijte následující kompaktní vzorec:

kde: r je poloměr vepsané kružnice (p je půlobvod).

Pro výpočet plochy zmenšeného trojúhelníku opsané kružnice a délky jejích stran použijte vzorec:

kde: R je poloměr kružnice opsané.

Pokud je známa délka jedné ze stran trojúhelníku a tři úhly (v zásadě stačí dva - hodnota třetího se vypočítá z rovnosti součtu tří úhlů trojúhelníku - 180º), použijte vzorec:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kde α je hodnota úhlu opačného ke straně a;
β, γ jsou hodnoty zbývajících dvou úhlů trojúhelníku.

Potřeba najít různé prvky, včetně plochy trojúhelník, se objevil mnoho staletí před naším letopočtem mezi astronomy Starověké Řecko. Náměstí trojúhelník lze vypočítat různé způsoby pomocí různých vzorců. Způsob výpočtu závisí na tom, které prvky trojúhelník známý.

Návod

Pokud z podmínky známe hodnoty dvou stran b, c a úhel jimi tvořený?, pak plocha trojúhelník ABC se nalézá podle vzorce:
S = (bcsin?)/2.

Pokud z podmínky známe hodnoty dvou stran a, b a úhel jimi nesvírají?, pak plocha trojúhelník ABC se nachází takto:
Najít úhel?, hřích? = bsin? / a, dále na tabulce určujeme samotný úhel.
Najít úhel? = 180°-A-8.
Najděte samotnou oblast S = (absin?)/2.

Pokud z podmínky známe hodnoty pouze tří stran trojúhelník a, b a c, pak oblast trojúhelník ABC se nalézá podle vzorce:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), kde p je semiperimetr p = (a+b+c)/2

Pokud ze stavu problému známe výšku trojúhelník h a stranu, na kterou je tato výška snížena, pak plochu trojúhelník ABC podle vzorce:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Pokud známe hodnoty stran trojúhelník a, b, c a poloměr opsané blízko dané trojúhelník R, pak oblast tohoto trojúhelník ABC se určuje podle vzorce:
S = abc/4R.
Jsou-li známy tři strany a, b, c a poloměr vepsaného, ​​pak plocha trojúhelník ABC se nalézá podle vzorce:
S = pr, kde p je semiperimetr, p = (a+b+c)/2.

Pokud je ABC rovnostranné, pak se plocha najde podle vzorce:
S = (a^2v3)/4.
Pokud je trojúhelník ABC rovnoramenný, pak je plocha určena vzorcem:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kde c je trojúhelník.
Pokud je trojúhelník ABC pravoúhlý, pak je plocha určena vzorcem:
S = ab/2, kde aab jsou nohy trojúhelník.
Pokud je trojúhelník ABC pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, pak je plocha určena vzorcem:
S = c^2/4 = a^2/2, kde c je přepona trojúhelník, a=b - noha.

Související videa

Prameny:

• jak změřit plochu trojúhelníku

Tip 3: Jak najít oblast trojúhelníku, pokud znáte úhel

Znát pouze jeden parametr (hodnotu úhlu) k nalezení oblasti nestačí tre náměstí . Pokud existují nějaké další rozměry, pak pro určení oblasti můžete vybrat jeden ze vzorců, ve kterém je hodnota úhlu také použita jako jedna ze známých proměnných. Níže je uvedeno několik nejčastěji používaných vzorců.

Návod

Pokud navíc k úhlu (γ) svírají obě strany tre náměstí , délky těchto stran (A a B) jsou tedy také známy náměstí Hodnoty (S) lze definovat jako polovinu součinu délek stran a sinu tohoto známého úhlu: S=½×A×B×sin(γ).

K určení plochy trojúhelníku můžete použít různé vzorce. Ze všech metod je nejjednodušší a nejčastěji používaný vynásobení výšky délkou základny a následné dělení výsledku dvěma. nicméně tato metoda zdaleka ne jediný. Níže si můžete přečíst, jak najít oblast trojúhelníku pomocí různých vzorců.

Samostatně zvážíme metody pro výpočet plochy konkrétních typů trojúhelníků - obdélníkového, rovnoramenného a rovnostranného. Každý vzorec doprovázíme krátkým vysvětlením, které vám pomůže pochopit jeho podstatu.

Univerzální způsoby, jak najít oblast trojúhelníku

Níže uvedené vzorce používají speciální notaci. Každý z nich rozluštíme:

• a, b, c jsou délky tří stran obrazce, které uvažujeme;
• r je poloměr kružnice, kterou lze vepsat do našeho trojúhelníku;
• R je poloměr kružnice, kterou lze kolem ní popsat;
• α - hodnota úhlu, který svírají strany b a c;
• β je úhel mezi a a c;
• γ - hodnota úhlu, který svírají strany a a b;
• h je výška našeho trojúhelníku, sníženého z úhlu α na stranu a;
• p je poloviční součet stran a, b a c.

Je logicky jasné, proč můžete tímto způsobem najít oblast trojúhelníku. Trojúhelník lze snadno doplnit na rovnoběžník, ve kterém jedna strana trojúhelníku bude fungovat jako úhlopříčka. Oblast rovnoběžníku se zjistí vynásobením délky jedné z jeho stran hodnotou výšky, která je k němu nakreslena. Úhlopříčka rozděluje tento podmíněný rovnoběžník na 2 stejné trojúhelníky. Proto je zcela zřejmé, že plocha našeho původního trojúhelníku by se měla rovnat polovině plochy tohoto pomocného rovnoběžníku.

S=½ a b sin γ

Podle tohoto vzorce se plocha trojúhelníku zjistí vynásobením délek jeho dvou stran, to znamená a a b, sinem úhlu, který svírají. Tento vzorec je logicky odvozen od předchozího. Snížíme-li výšku z úhlu β na stranu b, pak podle vlastností pravoúhlého trojúhelníku při vynásobení délky strany a sinem úhlu γ dostaneme výšku trojúhelníku, tedy h.

Oblast uvažovaného obrázku se zjistí vynásobením poloviny poloměru kruhu, který do něj může být vepsán, jeho obvodem. Jinými slovy, najdeme součin semiperimetru a poloměru zmíněné kružnice.

S = abc/4R

Podle tohoto vzorce lze hodnotu, kterou potřebujeme, zjistit vydělením součinu stran obrazce 4 poloměry kružnice, která je kolem něj opsána.

Tyto vzorce jsou univerzální, protože umožňují určit plochu jakéhokoli trojúhelníku (scalene, rovnoramenný, rovnostranný, pravoúhlý). Dá se to udělat i s více složité výpočty, kterému se nebudeme podrobně věnovat.

Oblasti trojúhelníků se specifickými vlastnostmi

Jak najít oblast pravoúhlého trojúhelníku? Charakteristickým rysem tohoto obrázku je, že jeho dvě strany jsou současně jeho výškami. Pokud a a b jsou nohy a c se stane přeponou, pak je oblast nalezena následovně:

Jak najít oblast rovnoramenného trojúhelníku? Má dvě strany o délce a a jednu stranu o délce b. Jeho obsah lze tedy určit tak, že součin druhé mocniny strany a vydělíme 2 sinem úhlu γ.

Jak najít obsah rovnostranného trojúhelníku? V něm je délka všech stran a a hodnota všech úhlů je α. Jeho výška je poloviční součin délky strany krát odmocnina 3. Chcete-li najít obsah pravidelného trojúhelníku, potřebujete druhou mocninu strany a vynásobenou druhou odmocninou ze 3 a dělenou 4.