Aplikace vektorů. Vektory, definice, působení na vektory, jejich vlastnosti. Bod produktu přes souřadnice

Konečně se mi dostalo do rukou rozsáhlé a dlouho očekávané téma analytická geometrie. Nejprve něco o této části vyšší matematiky…. Jistě jste si nyní vzpomněli na kurz školní geometrie s četnými teorémy, jejich důkazy, kresbami atd. Co skrývat, pro značnou část studentů nemilovaný a často obskurní předmět. Analytická geometrie se kupodivu může zdát zajímavější a přístupnější. Co znamená přídavné jméno „analytický“? Okamžitě mě napadnou dva vyražené matematické obraty: „grafická metoda řešení“ a „analytická metoda řešení“. Grafická metoda, samozřejmě souvisí se stavbou grafů, nákresů. Analytická stejný metoda zahrnuje řešení problémů převážně prostřednictvím algebraických operací. V tomto ohledu je algoritmus pro řešení téměř všech problémů analytické geometrie jednoduchý a transparentní, často stačí přesně použít potřebné vzorce - a odpověď je připravena! Ne, samozřejmě se to vůbec neobejde bez nákresů, kromě toho se je pro lepší pochopení materiálu pokusím přinést nad rámec potřeby.

Otevřený kurz lekcí geometrie si nečiní nárok na teoretickou úplnost, je zaměřen na řešení praktických problémů. Do svých přednášek zařadím jen to, co je z mého pohledu důležité z praktického hlediska. Pokud potřebujete úplnější odkaz na kteroukoli podsekci, doporučuji následující docela dostupnou literaturu:

1) Věc, kterou, bez vtipu, zná několik generací: Školní učebnice geometrie, autoři - L.S. Atanasyan a společnost. Tento věšák školní šatny odolal již 20 (!) reedicím, což ovšem není limit.

2) Geometrie ve 2 svazcích. Autoři L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. Toto je literatura pro vyšší vzdělání, kterou budete potřebovat první svazek. Méně často se vyskytující úkoly mohou vypadnout z mého zorného pole a tutoriál bude neocenitelnou pomocí.

Obě knihy jsou zdarma ke stažení online. Navíc můžete využít můj archiv s hotovými řešeními, které najdete na stránce Stáhněte si příklady z vyšší matematiky.

Z nástrojů opět nabízím svůj vlastní vývoj - softwarový balík na analytickou geometrii, což výrazně zjednoduší život a ušetří spoustu času.

Předpokládá se, že čtenář zná základní geometrické pojmy a obrazce: bod, přímka, rovina, trojúhelník, rovnoběžník, rovnoběžnostěn, krychle atd. Je vhodné si zapamatovat některé věty, alespoň Pythagorovu větu, ahoj opakovače)

A nyní budeme postupně zvažovat: koncept vektoru, akce s vektory, vektorové souřadnice. Dále doporučuji k přečtení nejdůležitější článek Bodový součin vektorů, jakož i Vektorový a smíšený součin vektorů. Místní úkol nebude zbytečný - Rozdělení segmentu v tomto ohledu. Na základě výše uvedených informací můžete rovnice přímky v rovině S nejjednodušší příklady řešení, což umožní naučit se řešit problémy v geometrii. Následující články jsou také užitečné: Rovnice roviny v prostoru, Rovnice přímky v prostoru, Základní úlohy na přímce a rovině, další úseky analytické geometrie. Po cestě budou samozřejmě zvažovány standardní úkoly.

Koncept vektoru. volný vektor

Nejprve si zopakujme školní definici vektoru. Vektor volal režírovaný segment, pro který je uveden jeho začátek a konec:

V tomto případě je začátek segmentu bod , konec segmentu bod . Samotný vektor je označen . Směr je zásadní, pokud přeuspořádáte šipku na druhý konec segmentu, získáte vektor, a to už je úplně jiný vektor. Koncept vektoru je vhodné ztotožnit s pohybem fyzického těla: musíte uznat, že vstup do dveří ústavu nebo odchod ze dveří ústavu jsou zcela odlišné věci.

Je vhodné uvažovat jednotlivé body roviny, prostoru jako tzv nulový vektor. Takový vektor má stejný konec a začátek.

!!! Poznámka: Zde a níže můžete předpokládat, že vektory leží ve stejné rovině nebo můžete předpokládat, že jsou umístěny v prostoru - podstata prezentovaného materiálu platí pro rovinu i prostor.

Označení: Mnozí hned upozornili na hůl bez šípu v označení a řekli, že šipku dali i nahoru! Přesně tak, šipkou můžete psát: , ale přípustné a záznam, který použiji později. Proč? Zřejmě se takový zvyk vyvinul z praktických hledisek, moje střelky ve škole a na univerzitě se ukázaly být příliš rozmanité a střapaté. Ve vzdělávací literatuře se někdy vůbec neobtěžují klínovým písmem, ale zvýrazní písmena tučně: , čímž naznačují, že se jedná o vektor.

To byl styl a nyní o způsobech psaní vektorů:

1) Vektory lze psát dvěma velkými latinskými písmeny:
a tak dále. Zatímco první písmeno Nezbytně označuje počáteční bod vektoru a druhé písmeno označuje koncový bod vektoru.

2) Vektory jsou také psány malými latinskými písmeny:
Zejména náš vektor může být pro stručnost přejmenován malým latinským písmenem .

Délka nebo modul nenulový vektor se nazývá délka segmentu. Délka nulového vektoru je nula. Logicky.

Délka vektoru je označena znaménkem modulo: ,

Jak zjistit délku vektoru, se naučíme (nebo zopakujeme, pro někoho jak) o něco později.

To byly základní informace o vektoru, známé všem školákům. V analytické geometrii, tzv volný vektor.

Pokud je to docela jednoduché - vektor lze nakreslit z libovolného bodu:

Dříve jsme takovým vektorům říkali rovné (definice stejných vektorů bude uvedena níže), ale z čistě matematického hlediska se jedná o STEJNÝ VEKTOR resp. volný vektor. Proč zdarma? Protože v průběhu řešení problémů můžete „připojit“ jeden nebo druhý vektor k JAKÉMUKOLI bodu roviny nebo prostoru, který potřebujete. To je velmi cool nemovitost! Představte si vektor libovolné délky a směru – lze jej „naklonovat“ nekonečněkrát a v libovolném bodě prostoru, ve skutečnosti existuje VŠUDE. Existuje takové studentské přísloví: Každý lektor v f ** u ve vektoru. Ostatně nejde jen o vtipnou říkanku, vše je matematicky správně - i tam lze připojit vektor. Ale nespěchejte se radovat, sami studenti častěji trpí =)

Tak, volný vektor- Tento hromada identické směrové segmenty. Školní definice vektoru uvedená na začátku odstavce: „Směrovaný segment se nazývá vektor ...“, znamená charakteristický směrovaný segment převzatý z dané množiny, který je připojen k určitému bodu v rovině nebo prostoru.

Je třeba poznamenat, že z hlediska fyziky je koncept volného vektoru obecně nesprávný a na místě použití vektoru záleží. Skutečně, přímá rána stejné síly do nosu nebo do čela stačí k tomu, abych rozvinul můj hloupý příklad, má různé důsledky. Nicméně, není zdarma vektory se nacházejí i v průběhu vyshmat (tam nechoďte :)).

Akce s vektory. Kolinearita vektorů

V kurzu školní geometrie se uvažuje o řadě akcí a pravidel s vektory: sčítání podle pravidla trojúhelníku, sčítání podle pravidla rovnoběžníku, pravidlo o rozdílu vektorů, násobení vektoru číslem, skalární součin vektorů atd. Jako základ zopakujeme dvě pravidla, která jsou zvláště relevantní pro řešení problémů analytické geometrie.

Pravidlo sčítání vektorů podle pravidla trojúhelníků

Uvažujme dva libovolné nenulové vektory a :

Je potřeba najít součet těchto vektorů. Vzhledem k tomu, že všechny vektory jsou považovány za volné, odkládáme vektor z konec vektor :

Součet vektorů je vektor . Pro lepší porozumění pravidlu je vhodné dát mu fyzikální význam: ať nějaké těleso udělá cestu podél vektoru a poté podél vektoru . Pak součet vektorů je vektor výsledné cesty začínající v místě odjezdu a končící v místě příjezdu. Podobné pravidlo je formulováno pro součet libovolného počtu vektorů. Jak se říká, tělo může jít svou cestou silně cikcak, nebo třeba na autopilota - po výsledném součtovém vektoru.

Mimochodem, pokud je vektor odložen z Start vector , pak dostaneme ekvivalent pravidlo rovnoběžníku přidání vektorů.

Nejprve o kolinearitě vektorů. Tyto dva vektory se nazývají kolineární leží-li na stejné přímce nebo na rovnoběžných liniích. Zhruba řečeno, mluvíme o paralelních vektorech. Ale ve vztahu k nim se vždy používá přívlastek „kolineární“.

Představte si dva kolineární vektory. Pokud jsou šipky těchto vektorů nasměrovány stejným směrem, pak se takové vektory nazývají kosměrný. Pokud se šipky podívají v různých směrech, vektory budou opačně zaměřené.

Označení: kolinearita vektorů se zapisuje obvyklou ikonou rovnoběžnosti: , přičemž detailování je možné: (vektory jsou směrovány společně) nebo (vektory jsou směrovány opačně).

práce nenulového vektoru číslem je vektor, jehož délka je rovna , a vektory a jsou společně nasměrovány na a opačně nasměrovány na .

Pravidlo pro násobení vektoru číslem je snazší pochopit s obrázkem:

Rozumíme podrobněji:

1) Směr. Pokud je násobitel záporný, pak vektor mění směr k opaku.

2) Délka. Pokud je faktor obsažen v nebo , pak délka vektoru klesá. Délka vektoru je tedy dvakrát menší než délka vektoru . Pokud je modulo násobitel větší než jedna, pak délka vektoru zvyšuje včas.

3) Vezměte prosím na vědomí všechny vektory jsou kolineární, zatímco jeden vektor je vyjádřen prostřednictvím jiného, ​​například . Opak je také pravdou: jestliže jeden vektor může být vyjádřen v podmínkách jiného, ​​pak takové vektory jsou nutně kolineární. Tím pádem: vynásobíme-li vektor číslem, dostaneme kolineární(vzhledem k originálu) vektor.

4) Vektory jsou kosměrné. Vektory a jsou také kosměrné. Jakýkoli vektor z první skupiny je nasměrován opačně než jakýkoli vektor z druhé skupiny.

Jaké vektory jsou stejné?

Dva vektory jsou si rovny, pokud jsou kosměrné a mají stejnou délku. Všimněte si, že společný směr znamená, že vektory jsou kolineární. Definice bude nepřesná (nadbytečná), pokud řeknete: "Dva vektory jsou stejné, pokud jsou kolineární, spoluřízené a mají stejnou délku."

Z hlediska konceptu volného vektoru jsou stejné vektory stejným vektorem, o kterém již bylo pojednáno v předchozím odstavci.

Vektorové souřadnice v letadle a ve vesmíru

Prvním bodem je uvažovat vektory v rovině. Nakreslete kartézský pravoúhlý souřadnicový systém a odložte jej stranou od počátku singl vektory a:

Vektory a ortogonální. Ortogonální = kolmý. Doporučuji si pomalu zvykat na pojmy: místo rovnoběžnosti a kolmosti používáme slova resp kolinearita A ortogonalita.

Označení: ortogonalita vektorů se zapisuje obvyklým kolmým znaménkem, například: .

Uvažované vektory se nazývají souřadnicové vektory nebo orts. Tyto vektory se tvoří základ na povrchu. Co je základ, je myslím mnohým intuitivně jasné, podrobnější informace najdete v článku Lineární (ne)závislost vektorů. Vektorový základ.Zjednodušeně řečeno, základ a počátek souřadnic definují celý systém - to je jakýsi základ, na kterém vře plný a bohatý geometrický život.

Někdy se konstruovaný základ nazývá ortonormální základ roviny: "orto" - protože souřadnicové vektory jsou ortogonální, znamená přídavné jméno "normalizovaný" jednotku, tzn. délky základních vektorů jsou rovny jedné.

Označení: v závorce se obvykle píše základ, uvnitř kterého v přísném pořadí základní vektory jsou uvedeny, například: . Souřadnicové vektory je to zakázáno vyměnit místa.

Žádný rovinný vektor jediná možnost vyjádřeno jako:
, kde - čísla, které se nazývají vektorové souřadnice v tomto základu. Ale samotný výraz volal vektorový rozkladzáklad .

Večeře podávaná:

Začněme prvním písmenem abecedy: . Výkres jasně ukazuje, že při rozkladu vektoru z hlediska základu se používají právě uvažované:
1) pravidlo násobení vektoru číslem: a ;
2) sčítání vektorů podle pravidla trojúhelníku: .

Nyní mentálně odložte vektor z jakéhokoli jiného bodu v rovině. Je zcela zřejmé, že jeho korupce ho „neúnavně pronásleduje“. Tady to je, svoboda vektoru - vektor "nese všechno s vámi." Tato vlastnost samozřejmě platí pro jakýkoli vektor. Je legrační, že samotné základní (volné) vektory nemusí být vyčleněny z počátku, jeden může být nakreslen např. vlevo dole a druhý vpravo nahoře a na tom se nic nezmění! Je pravda, že to nemusíte dělat, protože učitel také ukáže originalitu a nakreslí vám „propustku“ na nečekaném místě.

Vektory , přesně ilustrují pravidlo pro násobení vektoru číslem, vektor je řízen společně se základním vektorem , vektor směřuje opačně k základnímu vektoru . Pro tyto vektory je jedna ze souřadnic rovna nule, lze ji pečlivě zapsat takto:


A základní vektory jsou mimochodem tyto: (ve skutečnosti jsou vyjádřeny skrze sebe).

A nakonec: , . Mimochodem, co je vektorové odčítání a proč jsem vám neřekl o pravidle odčítání? Někde v lineární algebře, už si nepamatuji kde, jsem poznamenal, že odčítání je speciální případ sčítání. Takže expanze vektorů "de" a "e" se klidně píší jako součet: . Přeuspořádejte termíny na místech a sledujte nákres, jak jasně v těchto situacích funguje staré dobré sčítání vektorů podle pravidla trojúhelníku.

Uvažovaný rozklad formy někdy nazývaný vektorový rozklad v systému ort(tedy v soustavě jednotkových vektorů). Ale toto není jediný způsob, jak napsat vektor, běžná je následující možnost:

Nebo se znaménkem rovná se:

Samotné základní vektory jsou zapsány následovně: a

To znamená, že souřadnice vektoru jsou uvedeny v závorkách. V praktických úlohách se využívají všechny tři možnosti záznamu.

Pochyboval jsem, zda mám mluvit, ale přesto řeknu: vektorové souřadnice nelze přeskupit. Přísně na prvním místě zapište souřadnici, která odpovídá jednotkovému vektoru, přísně na druhém místě zapište si souřadnici, která odpovídá jednotkovému vektoru. Ve skutečnosti a jsou dva různé vektory.

Zjistili jsme souřadnice v letadle. Nyní zvažte vektory v trojrozměrném prostoru, zde je vše téměř stejné! Bude přidána pouze jedna další souřadnice. Je obtížné provádět trojrozměrné kresby, takže se omezím na jeden vektor, který pro jednoduchost odložím od původu:

Žádný 3D prostor vektor jediná možnost expandovat na ortonormálním základě:
, kde jsou souřadnice vektoru (čísla) v daném základu.

Příklad z obrázku: . Podívejme se, jak fungují pravidla vektorových akcí. Nejprve vynásobte vektor číslem: (červená šipka), (zelená šipka) a (purpurová šipka). Za druhé, zde je příklad přidání několika, v tomto případě tří, vektorů: . Vektor součtu začíná v počátečním bodě odletu (začátek vektoru ) a končí v konečném bodě příjezdu (konec vektoru ).

Všechny vektory trojrozměrného prostoru jsou samozřejmě také volné, zkuste mentálně odložit vektor z jakéhokoli jiného bodu a pochopíte, že jeho rozpínání „zůstává u něj“.

Podobně jako u pouzdra na letadlo kromě psaní široce používané verze se závorkami: buď .

Pokud v rozšíření chybí jeden (nebo dva) souřadnicové vektory, jsou místo nich vloženy nuly. Příklady:
vektor (pečlivě ) - zapsat ;
vektor (pečlivě ) - zapsat ;
vektor (pečlivě ) - zapsat .

Bázové vektory se zapisují takto:

Zde jsou snad všechny minimální teoretické znalosti nutné pro řešení problémů analytické geometrie. Možná je zde příliš mnoho pojmů a definic, proto doporučuji figurínům, aby si tyto informace znovu přečetli a porozuměli jim. A pro každého čtenáře bude užitečné čas od času nahlédnout do základní poučky pro lepší asimilaci látky. Kolinearita, ortogonalita, ortonormální báze, vektorová dekompozice – tyto a další pojmy budou často používány v následujícím textu. Podotýkám, že materiály webu nestačí na složení teoretického testu, kolokvia o geometrii, protože pečlivě kóduji všechny teorémy (kromě bez důkazů) - na úkor vědeckého stylu prezentace, ale plus pro vaše porozumění předmětu. Pro podrobné teoretické informace vás žádám, abyste se poklonili profesoru Atanasyanovi.

Nyní přejdeme k praktické části:

Nejjednodušší problémy analytické geometrie.
Akce s vektory v souřadnicích

Úkoly, které budou zvažovány, je velmi žádoucí naučit se je řešit plně automaticky a vzorce memorovat, schválně si to ani nepamatujte, oni si to zapamatují sami =) To je velmi důležité, protože ostatní problémy analytické geometrie jsou založeny na nejjednodušších elementárních příkladech a bude otravné trávit čas navíc pojídáním pěšců. Na košili si nemusíte zapínat vrchní knoflíky, spoustu věcí znáte ze školy.

Prezentace materiálu bude mít paralelní průběh - jak pro rovinu, tak pro vesmír. Z toho důvodu, že všechny vzorce ... uvidíte sami.

Jak najít vektor daný dvěma body?

Pokud jsou dány dva body roviny a, pak má vektor následující souřadnice:

Pokud jsou dány dva body v prostoru a, pak má vektor následující souřadnice:

to znamená, ze souřadnic konce vektoru musíte odečíst odpovídající souřadnice vektorový start.

Cvičení: U stejných bodů si zapište vzorce pro zjištění souřadnic vektoru. Vzorce na konci lekce.

Příklad 1

Dané dva body v rovině a . Najděte vektorové souřadnice

Řešení: podle odpovídajícího vzorce:

Alternativně lze použít následující zápis:

Estéti se rozhodnou takto:

Osobně jsem zvyklý na první verzi desky.

Odpovědět:

Podle podmínky nebylo nutné sestavit výkres (což je typické pro problémy analytické geometrie), ale abych vysvětlil některé body figurínům, nebudu příliš líný:

Musí být pochopeno rozdíl mezi souřadnicemi bodu a souřadnicemi vektoru:

Souřadnice bodu jsou obvyklé souřadnice v pravoúhlém souřadnicovém systému. Myslím, že každý ví, jak vykreslit body na souřadnicové rovině, od 5. do 6. ročníku. Každý bod má v rovině své pevné místo a nelze je nikam posunout.

Souřadnice stejného vektoru je jeho rozšíření vzhledem k základu , v tomto případě . Jakýkoli vektor je volný, proto jej v případě potřeby snadno odložíme z jiného bodu v rovině. Zajímavé je, že pro vektory nemůžete vůbec stavět osy, pravoúhlý souřadnicový systém, potřebujete pouze základnu, v tomto případě ortonormální základ roviny.

Záznamy souřadnic bodů a vektorových souřadnic se zdají být podobné: , a smysl souřadnic Absolutně odlišný a měli byste si být tohoto rozdílu dobře vědomi. Tento rozdíl samozřejmě platí i pro prostor.

Dámy a pánové, plníme si ruce:

Příklad 2

a) Dané body a . Najděte vektory a .
b) Body jsou přiděleny A . Najděte vektory a .
c) Dané body a . Najděte vektory a .
d) Body jsou přiděleny. Najít vektory .

Možná dost. To jsou příklady pro samostatné rozhodnutí, snažte se je nezanedbávat, vyplatí se to ;-). Výkresy nejsou nutné. Řešení a odpovědi na konci lekce.

Co je důležité při řešení úloh analytické geometrie? Je důležité být EXTRÉMNĚ OPATRNÝ, abyste se vyhnuli mistrovské chybě „dva plus dva rovna nule“. Předem se omlouvám, pokud jsem udělal chybu =)

Jak zjistit délku segmentu?

Délka, jak již bylo uvedeno, je označena znaménkem modulu.

Jsou-li dány dva body roviny a, lze délku segmentu vypočítat podle vzorce

Pokud jsou dány dva body v prostoru a, pak lze délku segmentu vypočítat podle vzorce

Poznámka: Vzorce zůstanou správné, pokud jsou odpovídající souřadnice prohozeny: a , ale první možnost je standardnější

Příklad 3

Řešení: podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Pro názornost udělám nákres

Úsečka - není to vektor, a nemůžete to samozřejmě nikam přesunout. Pokud navíc dokončíte výkres v měřítku: 1 jednotka. \u003d 1 cm (dvě tetradové buňky), pak lze odpověď zkontrolovat pomocí běžného pravítka přímým měřením délky segmentu.

Ano, řešení je krátké, ale je v něm několik důležitých bodů, které bych rád objasnil:

Nejprve v odpovědi nastavíme rozměr: „jednotky“. Podmínka neříká, CO to je, milimetry, centimetry, metry nebo kilometry. Proto bude obecná formulace matematicky kompetentním řešením: „jednotky“ - zkráceně „jednotky“.

Za druhé si zopakujme školní látku, která je užitečná nejen pro uvažovaný problém:

Dávejte pozor na důležitý technický trik – vyjmutí multiplikátoru zpod kořene. Jako výsledek výpočtů jsme dostali výsledek a dobrý matematický styl zahrnuje vyjmutí multiplikátoru zpod kořene (pokud je to možné). Proces vypadá podrobněji takto: . Samozřejmě, že ponechání odpovědi ve formuláři nebude chybou – ale rozhodně je to vada a závažný argument pro hnidopišství ze strany učitele.

Zde jsou další běžné případy:

Často se dostatečně velký počet získá například pod kořenem. Jak být v takových případech? Na kalkulačce zkontrolujeme, zda je číslo dělitelné 4:. Ano, rozdělit úplně, takto: . Nebo se dá číslo opět vydělit 4? . Tím pádem: . Poslední číslice čísla je lichá, takže dělení 4 potřetí zjevně není možné. Pokus o dělení devíti: . Jako výsledek:
Připraveno.

Závěr: pokud pod odmocninou dostaneme zcela neextrahovatelné číslo, tak se pokusíme vyjmout faktor pod odmocninou - na kalkulačce zkontrolujeme, zda je číslo dělitelné: 4, 9, 16, 25, 36, 49, atd.

Při řešení různých problémů se často nalézají kořeny, vždy se snažte extrahovat faktory pod kořenem, abyste se vyhnuli nižšímu skóre a zbytečným problémům s finalizací řešení podle poznámky učitele.

Zopakujme současně kvadraturu odmocnin a dalších mocnin:

Pravidla pro úkony se stupni v obecné podobě lze najít ve školní učebnici algebry, ale myslím, že vše nebo téměř vše je jasné již z uvedených příkladů.

Úkol pro nezávislé řešení se segmentem v prostoru:

Příklad 4

Dané body a . Najděte délku segmentu.

Řešení a odpověď na konci lekce.

Jak zjistit délku vektoru?

Je-li dán rovinný vektor, pak se jeho délka vypočítá podle vzorce.

Pokud je dán prostorový vektor, pak se jeho délka vypočítá podle vzorce .

V tomto článku se budeme zabývat operacemi, které lze provádět s vektory v rovině a v prostoru. Dále vypíšeme vlastnosti operací s vektory a zdůvodníme je pomocí geometrických konstrukcí. Ukážeme si také uplatnění vlastností operací s vektory při zjednodušení výrazů obsahujících vektory.

Pro lepší asimilaci materiálu doporučujeme osvěžit paměť pojmů uvedených v článku vektory - základní definice.

Navigace na stránce.

Operace sčítání dvou vektorů je pravidlo trojúhelníku.

Pojďme si ukázat, jak to jde přidání dvou vektorů.

Sčítání vektorů a probíhá následovně: z libovolného bodu A se vynese vektor rovný, pak z bodu B se vynese vektor rovný a vektor je součet vektorů a. Tento způsob sčítání dvou vektorů se nazývá trojúhelníkové pravidlo.

Ukažme si sčítání nekolineárních vektorů v rovině podle trojúhelníkového pravidla.

A nákres níže ukazuje přidání ko-směrných a opačně orientovaných vektorů.

Sčítání několika vektorů je pravidlem mnohoúhelníku.

Na základě uvažované operace sčítání dvou vektorů můžeme přidat tři nebo více vektorů. V tomto případě jsou přidány první dva vektory, třetí vektor je přidán k výsledku, čtvrtý je přidán k výsledku a tak dále.

Přidání několika vektorů se provádí pomocí následující konstrukce. Z libovolného bodu A roviny nebo prostoru se posune vektor rovný prvnímu členu, vektor rovný druhému členu se odloží od jeho konce, třetí člen se odloží od svého konce atd. Nechť bod B je koncem posledního odloženého vektoru. Součet všech těchto vektorů bude vektor .

Sčítání několika vektorů v rovině tímto způsobem se nazývá pravidlo mnohoúhelníku. Zde je ilustrace pravidla mnohoúhelníku.

Naprosto podobné je sčítání více vektorů v prostoru.

Operace násobení vektoru číslem.

Nyní se podívejme, jak se to stane násobení vektoru číslem.

Násobení vektoru číslem k odpovídá natažení vektoru faktorem k pro k > 1 nebo zmenšení faktorem 0 pro 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

Například při násobení vektoru číslem 2 bychom měli zdvojnásobit jeho délku a zachovat směr a při násobení vektoru mínus jednou třetinou ztrojnásobit jeho délku a obrátit směr. Pro názornost uvádíme ilustraci tohoto případu.

Vlastnosti operací s vektory.

Definovali jsme tedy operaci sčítání vektorů a operaci násobení vektoru číslem. Navíc pro jakékoli vektory a libovolná reálná čísla lze pomocí geometrických konstrukcí zdůvodnit následující vlastnosti operací s vektory. Některé z nich jsou zřejmé.

Uvažované vlastnosti nám dávají možnost transformovat vektorové výrazy.

Vlastnosti komutativnosti a asociativnosti operace sčítání vektorů umožňují sčítat vektory v libovolném pořadí.

Neexistuje žádná operace odečítání vektorů jako taková, protože rozdíl vektorů je součtem vektorů a .

S přihlédnutím k uvažovaným vlastnostem operací s vektory můžeme provádět transformace ve výrazech obsahujících součty, rozdíly vektorů a součiny vektorů čísly, stejně jako v číselných výrazech.

Vezměme si příklad.

Definice Uspořádaná množina (x 1 , x 2 , ... , x n) n reálných čísel se nazývá n-rozměrný vektor a čísla x i (i = ) - komponenty nebo souřadnice,

Příklad. Pokud má určitá automobilka za směnu vyrobit např. 50 osobních automobilů, 100 nákladních automobilů, 10 autobusů, 50 sad náhradních dílů pro osobní automobily a 150 sad pro nákladní automobily a autobusy, pak lze výrobní program tohoto závodu zapsat jako vektor (50, 100, 10, 50, 150), který má pět složek.

Notový zápis. Vektory jsou označeny tučnými malými písmeny nebo písmeny s pruhem nebo šipkou nahoře, např. A nebo. Tyto dva vektory se nazývají rovnat se pokud mají stejný počet složek a jejich odpovídající složky jsou stejné.

Vektorové komponenty nelze zaměňovat, např. (3, 2, 5, 0, 1) a (2, 3, 5, 0, 1) různé vektory.
Operace s vektory. práce X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) na reálné čísloλ nazývaný vektorλ X= (A x 1, A x 2, ..., A x n).

součetX= (x 1, x 2, ..., x n) a y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) se nazývá vektor x+y= (xi + yi, x2 + y2, ..., xn + + y n).

Prostor vektorů. N -rozměrný vektorový prostor R n je definováno jako množina všech n-rozměrných vektorů, pro které jsou definovány operace násobení reálnými čísly a sčítání.

Ekonomické ilustrace. Ekonomická ilustrace n-rozměrného vektorového prostoru: prostor zboží (zboží). Pod zboží budeme rozumět nějakému zboží nebo službě, které se prodávaly v určitou dobu na určitém místě. Předpokládejme, že existuje konečný počet dostupných statků n; množství každého z nich zakoupené spotřebitelem je charakterizováno souborem zboží

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kde x i označuje množství i-tého zboží zakoupeného spotřebitelem. Budeme předpokládat, že veškeré zboží má vlastnost libovolné dělitelnosti, takže lze koupit libovolné nezáporné množství každého z nich. Pak všechny možné množiny zboží jsou vektory prostoru zboží C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i =).

Lineární nezávislost. Systém E 1 , E 2 , ... , E m se nazývá n-rozměrných vektorů lineárně závislé pokud taková čísla jsouλi, λ2, ..., λm , z nichž alespoň jeden je nenulový, což splňuje rovnostλ1 E 1 + λ2 E 2+...+λm E m = 0; jinak se tento systém vektorů nazývá lineárně nezávislý, tedy tato rovnost je možná pouze v případě, kdy všechny . Geometrický význam lineární závislosti vektorů v R 3, interpretované jako řízené segmenty, vysvětlete následující věty.

Věta 1. Systém skládající se z jediného vektoru je lineárně závislý právě tehdy, když je tento vektor nulový.

Věta 2. Aby byly dva vektory lineárně závislé, je nutné a postačující, aby byly kolineární (paralelní).

Věta 3 . Aby byly tři vektory lineárně závislé, je nutné a postačující, aby byly koplanární (ležící ve stejné rovině).

Levé a pravé trojice vektorů. Trojice nekoplanárních vektorů a, b, c volal že jo, pokud pozorovatel z jejich společného počátku obejde konce vektorů a, b, c v tomto pořadí se zdá, že postupuje ve směru hodinových ručiček. v opačném případě a, b, c -vlevo trojitý. Všechny pravé (nebo levé) trojice vektorů se nazývají stejně orientované.

Základ a souřadnice. Trojka E 1, E 2 , E 3 nekoplanární vektory v R 3 volala základ a samotné vektory E 1, E 2 , E 3 - základní. Jakýkoli vektor A může být rozšířena jedinečným způsobem, pokud jde o základní vektory, to znamená, že může být reprezentována ve formě

A= x 1 E 1 + x2 E 2 + x 3 E 3, (1.1)

volají se čísla x 1 , x 2 , x 3 v rozšíření (1.1). souřadniceA v základu E 1, E 2 , E 3 a jsou označeny A(x 1, x 2, x 3).

Ortonormální základ. Pokud vektory E 1, E 2 , E 3 jsou párově kolmé a délka každého z nich je rovna jedné, pak se volá základna ortonormální a souřadnice x 1 , x 2 , x 3 - obdélníkový. Budou označeny základní vektory ortonormální báze i, j, k.

Budeme předpokládat, že ve vesmíru R 3 pravý systém kartézských pravoúhlých souřadnic (0, i, j, k}.

Vektorový produkt. vektorové umění A na vektor b nazývaný vektor C, který je určen následujícími třemi podmínkami:

1. Délka vektoru Cčíselně se rovná ploše rovnoběžníku postaveného na vektorech A A b, tj.
C= |a||b| hřích( A^b).

2. Vektor C kolmo ke každému z vektorů A A b.

3. Vektory A, b A C, vzato v tomto pořadí, tvoří pravou trojici.

Pro vektorový produkt C zavádí se označení c=[ab] nebo
c = a × b.

Pokud vektory A A b jsou kolineární, pak hřích ( a^b) = 0 a [ ab] = 0, konkrétně [ aa] = 0. Vektorové součiny orts: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Pokud vektory A A b uvedeno v základu i, j, k souřadnice A(a 1, a 2, a 3), b(bi, b2, b3), potom

Smíšená práce. Je-li křížový součin dvou vektorů A A b skalár vynásobený třetím vektorem C, pak se takový součin tří vektorů nazývá smíšený produkt a je označen symbolem A před naším letopočtem.

Pokud vektory a, b A C v základu i, j, k nastaveny jejich souřadnicemi
A(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), C(c1, c2, c3), potom

.

Smíšený produkt má jednoduchou geometrickou interpretaci - je to skalár, v absolutní hodnotě se rovná objemu rovnoběžnostěnu postaveného na třech daných vektorech.

Jestliže vektory tvoří pravou trojici, pak jejich smíšený součin je kladné číslo rovné uvedenému objemu; pokud ti tři a, b, c - vlevo tedy a b c<0 и V = - a b c, tedy V =|a b c|.

Předpokládá se, že souřadnice vektorů, se kterými se setkáme v úlohách první kapitoly, jsou uvedeny ve vztahu ke správné ortonormální bázi. Jednotkový vektor kosměrný k vektoru A, označený symbolem AÓ. Symbol r=OM označovaném poloměrovým vektorem bodu M, symboly a, AB nebo|a|, | AB |moduly vektorů jsou označeny A A AB.

Příklad 1.2. Najděte úhel mezi vektory A= 2m+4n A b= m-n, Kde m A n- jednotkové vektory a úhel mezi nimi m A n rovných 120 o.

Řešení. Máme: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2-4+2cos120o = -2 + 2(-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, takže a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, takže b = . Nakonec máme: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Příklad 1.3.Znát vektory AB(-3,-2,6) a před naším letopočtem(-2,4,4), vypočítejte výšku AD trojúhelníku ABC.

Řešení. Označením oblasti trojúhelníku ABC pomocí S dostaneme:
S = 1/2 př. Kr. Pak AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, takže vektor AC má souřadnice
. .

Příklad 1.4 . Jsou dány dva vektory A(11,10,2) a b(4,0,3). Najděte jednotkový vektor C, ortogonální k vektorům A A b a směrovány tak, aby uspořádaná trojice vektorů a, b, c měl pravdu.

Řešení.Označme souřadnice vektoru C vzhledem k danému pravému ortonormálnímu základu ve smyslu x, y, z.

Protože C ⊥ a, c ⊥b, Že ca= 0, cb= 0. Podle podmínky problému se vyžaduje, aby c = 1 a a b c >0.

Máme soustavu rovnic pro hledání x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Z první a druhé rovnice soustavy dostaneme z = -4/3 x, y = -5/6 x. Dosazením y a z do třetí rovnice budeme mít: x 2 = 36/125, odkud
x=± . Použití podmínky a b c > 0, dostaneme nerovnost

Vezmeme-li v úvahu výrazy pro z a y, přepíšeme výslednou nerovnost ve tvaru: 625/6 x > 0, z čehož vyplývá, že x>0. Takže x =, y = -, z = -.

Vektor je směrovaný segment přímky v euklidovském prostoru, jehož jeden konec (bod A) se nazývá začátek vektoru a druhý konec (bod B) se nazývá konec vektoru (obr. 1) . Vektory jsou označeny:

Pokud je začátek a konec vektoru stejný, pak se vektor nazývá nulový vektor a označeny 0 .

Příklad. Nechť má začátek vektoru ve dvourozměrném prostoru souřadnice A(12,6) a konec vektoru jsou souřadnice B(12.6). Potom je vektor nulovým vektorem.

Délka řezu AB volal modul (délka, norma) vektor a značí se | A|. Volá se vektor délky rovné jedné jednotkový vektor. Kromě modulu je vektor charakterizován směrem: vektor má směr od A Na B. Vektor se nazývá vektor, naproti vektor .

Tyto dva vektory se nazývají kolineární leží-li na stejné přímce nebo na rovnoběžných liniích. Na Obr. Od té doby jsou 3 červené vektory kolineární leží na stejné přímce a modré vektory jsou kolineární, protože leží na rovnoběžných liniích. Jsou volány dva kolineární vektory stejně směrované pokud jejich konce leží na stejné straně čáry spojující jejich začátky. Jsou volány dva kolineární vektory opačnými směry pokud jejich konce leží na opačných stranách čáry spojující jejich začátky. Pokud dva kolineární vektory leží na stejné přímce, pak se nazývají stejně směrované, pokud jeden z paprsků tvořených jedním vektorem zcela obsahuje paprsek tvořený druhým vektorem. Jinak se vektorům říká opačně orientované. Na obrázku 3 jsou modré vektory ve stejném směru a červené vektory v opačném směru.

Tyto dva vektory se nazývají rovnat se pokud mají stejné moduly a jsou stejně zaměřeny. Na obr.2 jsou vektory stejné, protože jejich moduly jsou stejné a mají stejný směr.

Vektory se nazývají koplanární pokud leží ve stejné rovině nebo v rovnoběžných rovinách.

V n V dimenzionálním vektorovém prostoru uvažujme množinu všech vektorů, jejichž počáteční bod se shoduje s počátkem. Poté lze vektor zapsat v následujícím tvaru:

(1)

Kde x 1, x 2, ..., x n souřadnice koncového bodu vektoru X.

Zavolá se vektor zapsaný ve tvaru (1). řádkový vektor a vektor zapsaný jako

(2)

volal sloupcový vektor.

Číslo n volal dimenze (v pořádku) vektor. Li pak se zavolá vektor nulový vektor(protože počáteční bod vektoru ). Dva vektory X A y jsou si rovny tehdy a jen tehdy, když jsou jejich odpovídající prvky stejné.

1) + = + - komutativnost.

2) + (+ ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) () = () – asociativita

6) (+) =  + - distributivita

7) ( + ) =  + 

8) 1 =

Definice.

1) Základ v prostoru se nazývají libovolné 3 nekoplanární vektory, brané v určitém pořadí.

2) Základ v rovině jsou libovolné 2 nekolineární vektory v určitém pořadí.

3)Základ na řádku je volán jakýkoli nenulový vektor.

Definice. Li
- základ v prostoru a
, pak se volají čísla ,  a  komponenty nebo souřadnice vektor v tomto základu.

V tomto ohledu můžeme napsat následující vlastnosti:

stejné vektory mají stejné souřadnice,

když je vektor vynásoben číslem, jeho složky jsou také vynásobeny tímto číslem,

když jsou přidány vektory, jsou přidány jejich odpovídající složky.

;
;

+ = .

Lineární závislost vektorů.

Definice. vektory
volal lineárně závislé, pokud existuje taková lineární kombinace , kdy  i nejsou zároveň nula, tzn.
.

Pokud platí pouze  i = 0, pak se vektory nazývají lineárně nezávislé.

Nemovitost 1. Pokud mezi vektory je nulový vektor, pak jsou tyto vektory lineárně závislé.

Nemovitost 2. Pokud se k systému lineárně závislých vektorů přidá jeden nebo více vektorů, pak bude výsledný systém také lineárně závislý.

Nemovitost 3. Systém vektorů je lineárně závislý právě tehdy, když je jeden z vektorů rozložen na lineární kombinaci ostatních vektorů.

Nemovitost 4. Jakékoli 2 kolineární vektory jsou lineárně závislé a naopak jakékoli 2 lineárně závislé vektory jsou kolineární.

Nemovitost 5. Jakékoli 3 koplanární vektory jsou lineárně závislé a naopak jakékoli 3 lineárně závislé vektory jsou koplanární.

Nemovitost 6. Jakékoli 4 vektory jsou lineárně závislé.

Souřadnicový systém.

Pro určení polohy libovolného bodu lze použít různé souřadnicové systémy. Poloha libovolného bodu v libovolném souřadnicovém systému musí být jednoznačně určena. Koncept souřadnicového systému je kombinací referenčního bodu (počátku souřadnic) a nějaké báze. Jak v rovině, tak v prostoru je možné nastavit širokou škálu souřadnicových systémů. Volba souřadnicového systému závisí na povaze geometrického, fyzikálního nebo technického úkolu. Zvažte některé z nejčastěji používaných souřadnicových systémů v praxi.

Kartézský souřadnicový systém.

Fixujeme bod O v prostoru a uvažujeme libovolný bod M.

Vektor
nazýváme poloměrový vektor bodu M. Je-li v prostoru zadaná určitá báze, pak lze bodu M přiřadit určitou trojici čísel - složek jeho poloměrového vektoru.

Definice. Kartézský souřadnicový systém v prostoru se nazývá množina bodu a báze. Bod se nazývá původ. Čáry procházející počátkem se nazývají souřadnicové osy.

1. osa - osa úsečka

2. osa - osa ordinovat

3. osa - osa nášivka

Chcete-li najít složky vektoru, musíte odečíst souřadnice začátku od souřadnic jeho konce.

Jsou-li dány body A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2), pak
\u003d (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1).

Definice. Základem je tzv ortonormální pokud jsou jeho vektory párově ortogonální a rovny jedné.

Definice. Nazývá se kartézský souřadnicový systém, jehož základna je ortonormální Kartézský souřadnicový systém.

Příklad. Dané vektory (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) a (3; 2; 2) na nějakém základě. Ukažte, že vektory , A vytvořte základ a najděte souřadnice vektoru v tomto základu.

Vektory tvoří základ, pokud jsou lineárně nezávislé, jinými slovy, pokud rovnice zahrnuté v systému:

jsou lineárně nezávislé.

Pak
.

Tato podmínka je splněna, pokud je determinant systémové matice nenulový.

K řešení tohoto systému používáme Cramerovu metodu.

;

 3 =

Součet, vektorové souřadnice v základu , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Při použití PC verze „ Kurz vyšší matematiky” můžete spustit program, který vám umožní rozšířit libovolný vektor na jakýkoli nový základ, tzn. vyřešit předchozí příklad pro libovolné vektory , , , .

Program spustíte dvojitým kliknutím na ikonu:

V okně programu, které se otevře, zadejte souřadnice vektorů a stiskněte Enter.

Poznámka: Chcete-li program spustit, musíte mít na svém počítači nainstalovaný Maple ( Waterloo Maple Inc.), libovolnou verzi začínající MapleV Release 4.

Délka vektoru v souřadnicích definovaná jako vzdálenost mezi počátečním a koncovým bodem vektoru. Jsou-li v prostoru A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) dány dva body, pak .

Pokud bod M(x, y, z) dělí segment AB v poměru /  , počítáno od A, pak souřadnice tohoto bodu jsou definovány jako:

V konkrétním případě souřadnice uprostřed segmentu jsou umístěny takto:

x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (yi + y2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.