Chcete-li používat náhled prezentací, vytvořte si účet Google (účet) a přihlaste se: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Úhel mezi čarami

Cíle a cíle lekce: Vytvořit koncept úhlu mezi: Protínající se; paralelní; protínající se čáry. Naučte se najít úhel mezi: Protínající se; paralelní; protínající se čáry.

Připomeňme: Základna hranolu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je lichoběžník. Která z následujících dvojic čar se kříží?

Umístění čar v prostoru a úhel mezi nimi 1. Protínající se čáry. 2. Rovnoběžné čáry. 3. Protínající se čáry.

Jakékoli dvě protínající se přímky leží ve stejné rovině a svírají čtyři neroztažené úhly.

Jestliže protínající se čáry svírají čtyři stejné úhly, pak úhel mezi těmito čarami je 90°. a b

Úhel mezi dvěma rovnoběžnými čarami je 0°.

Úhel mezi dvěma protínajícími se přímkami v prostoru je nejmenší z úhlů, které svírají paprsky těchto čar s vrcholem v bodě jejich průsečíku.

Úhel mezi protínajícími se přímkami aab je úhel mezi sestrojenými protínajícími se čarami a.

Úhel mezi protínajícími se čarami, stejně jako mezi čarami stejné roviny, nesmí být větší než 90 °. Dvě protínající se čáry, které svírají úhel 90°, se nazývají kolmé. a b a 1 c c 1 d

Úhel mezi šikmými čarami Nechť AB a CD jsou dvě šikmé čáry. Vezměte libovolný bod M 1 prostoru a nakreslete jím čáry A 1 B 1 a C 1 D 1, rovnoběžné s přímkami AB a CD . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 φ Je-li úhel mezi přímkami A 1 B 1 a C 1 D 1 roven φ, pak řekneme, že úhel mezi protínajícími se přímkami AB a CD je roven φ.

Najděte úhel mezi šikmými čarami AB a CD Jako bod M 1 můžete vzít libovolný bod na jedné z šikmých čar. A B C D M 1 A 1 B 1 φ

Tělesná výchova pro oči

Zobrazit kolmé protínající se čáry v prostředí.

Vzhledem k obrazu krychle. Najděte úhel mezi protínajícími se přímkami a a b. 90° 45° Odpověď Odpověď

Vzhledem k obrazu krychle. Najděte úhel mezi protínajícími se přímkami a a b. 90° 60° Odpověď Odpověď

Vzhledem k obrazu krychle. Najděte úhel mezi protínajícími se přímkami aab 90° 90° Odpověď Odpověď

Domácí úkol: §4 (str. 85-89), #268, #269.

Tělesná výchova minuta

Úloha č. 1 V pravidelném jehlanu SABCD , jehož všechny hrany jsou rovny 1, je bod E středem hrany SC . Najděte úhel mezi přímkami AD a BE.

Třídní práce: Úkoly: č. 263 č. 265 č. 267

Náhled:

SCHVALOVAT

Učitel matematiky

L. R. Volňak

"__" ________ 2016

Předmět : "Úhel mezi čarami"

Návody:

Rozvíjející se:

Vzdělávací:

Typ lekce: Učení nového materiálu.

Metody: verbální (příběh), vizuální (prezentace), dialogický.

1. Organizace času.

• Pozdravy.

1. Aktualizace znalostí.

1. Jaká je vzájemná poloha dvou čar v prostoru?
2. Kolik úhlů vznikne, když se dvě přímky protnou v prostoru?
3. Jak určit úhel mezi protínajícími se čarami?

Slad3

1. Hranolová základna ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - lichoběžník. Která z následujících dvojic čar se kříží?

Odpověď: AB a CC 1, A 1 D 1 a CC 1.

1. Učení nového materiálu.

snímek 4

Umístění čar v prostoru a úhel mezi nimi.

1. Protínající se čáry.
2. Rovnoběžky.
3. Křížení rovných čar.

snímek 5

Jakékoli dvě protínající se přímky leží ve stejné rovině a svírají čtyři neroztažené úhly.

snímek 6

Jestliže protínající se čáry svírají čtyři stejné úhly, pak úhel mezi těmito čarami je 90°.

Snímek 7

Úhel mezi dvěma rovnoběžnými čarami je 0°.

Snímek 8

Úhel mezi dvěma protínajícími se přímkami v prostoru je nejmenší z úhlů, které svírají paprsky těchto čar s vrcholem v bodě jejich průsečíku.

Snímek 9 aab a .

Snímek 10

Úhel mezi protínajícími se čarami, stejně jako mezi čarami stejné roviny, nesmí být větší než 90 °. Dvě protínající se čáry, které svírají úhel 90°, se nazývají kolmé.

snímek 11

Úhel mezi křížícími se čarami.

Nechť AB a CD jsou dvě protínající se čáry.

Vezměte libovolný bod M 1 prostor a nakreslete rovné čáry A 1 v 1 a C1D1 rovnoběžně s přímkami AB a CD.

Pokud úhel mezi přímkami A 1 v 1 a C1D1 je roven φ, pak řekneme, že úhel mezi protínajícími se přímkami AB a CD je roven φ.

snímek 12

Najděte úhel mezi šikmými čarami AB a CD.

Jako bod M 1 lze vzít libovolný bod na jedné z protínajících se čar.

snímek 13

Tělesná výchova minuta

Snímek 14

1. Zobrazte v prostředí kolmé protínající se čáry.

snímek 15

2. Je dán obrázek krychle. Najděte úhel mezi protínajícími se přímkami a a b.

a) 90°; b) 45°;

snímek 16

c) 60°; d) 90°;

Snímek 17

e) 90°; f) 90°.

1. Fixace nového materiálu

Snímek 19

Tělesná výchova minuta

Snímek 20

№1.

V pravé pyramidě SABCD , jehož všechny hrany jsou rovny 1, bod E - střed žebra SC .Najděte úhel mezi čarami AD a B.E.

Řešení:

Požadovaný úhel = úhel CBE .Trojúhelník SBC je rovnostranný.

BE - sečna úhlu = 60. Úhel CBE je 30.

Odpověď: 30°.

№263.

Odpovědět:

Úhel mezi šikmými čarami a a b nazýváme úhel mezi sestrojenými protínajícími se čarami a 1 a b 1 a a 1 || a, b 1 || b.

№265.

Úhel mezi přímkami aab je 90°. Je pravda, že se přímky a a b protínají?

Odpovědět:

Nepravda, protože čáry se mohou protínat nebo protínat.

№267.

DABC je čtyřstěn, bod O a F jsou středy AD a CD, segment TK je střednice trojúhelníku ABC.

1. Jaký je úhel mezi přímkami OF a CB?
2. Je pravda, že úhel mezi přímkami OF a TK je 60°?
3. Jaký je úhel mezi přímkami TF a DB?

Řešení:

Zadáno: DABC,

O je střed AD,

F je uprostřed CD,

TC je střední čára ∆ABC.

Řešení:

1. Odraz

• Co nového jsme se naučili?
• Zvládli jsme úkoly, které byly stanoveny na začátku lekce?
• Jaké problémy jsme se naučili řešit?

1. Domácí práce.

§4 (str. 85-89), #268, #269.

Náhled:

SCHVALOVAT

Učitel matematiky

L. R. Volňak

"__" ________ 2016

Předmět : "Úhel mezi čarami"

Návody: pomocí praktických úkolů zajistit, aby studenti pochopili definici úhlu mezi protínajícími se, rovnoběžnými a šikmými čarami;

Rozvíjející se: rozvíjet prostorovou představivost žáků při řešení geometrických úloh, geometrické myšlení, zájem o předmět, poznávací a tvůrčí činnost žáků, matematickou řeč, paměť, pozornost; rozvíjet samostatnost při rozvoji nových znalostí.

Vzdělávací: vychovávat studenty k odpovědnému přístupu k pedagogické práci, k vůli; formovat emocionální kulturu a kulturu komunikace.

typ lekce: zobecnění a systematizace znalostí a dovedností.

Metody: verbální (příběh), dialogický.

1. Organizace času.

• Pozdravy.
• Komunikace cílů a cílů lekce.
• Motivace k učení nové látky.
• Psychologické a pedagogické nastavení studentů pro nadcházející aktivity.
• Kontrola přítomných na lekci;

1. Kontrola domácích úkolů

№268

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravoúhlý rovnoběžnostěn, bod O a T - středy hran RZ 1 a DD 1 respektive. a) Je pravda, že úhel mezi přímkami AD a TO je 90°? b) Jaký je úhel mezi přímkami A 1 B 1 a před naším letopočtem?

Řešení:

a) Pravda, protože TO || DC =>(AD, TO) = ADC = 90° (ABCD je obdélník).

b)BC || B1C1 => (A1B1, BC) = A1B1C1 = 90°.

Odpověď: 90°, 90°.

№269

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kostka. a) Je pravda, že úhel mezi přímkami A 1B a C1 D je 90°? b) Najděte úhel mezi přímkami B 10 a C1 D. c) Je pravda, že úhel mezi přímkami AC a C? 1D se rovná 45°?

Řešení:

a) Pravda, protože B 1 A || C1D => (A1B, C1D)= (B1A, A1 B) = 90° jako úhel mezi úhlopříčkami čtverce.

b) 1. B 1 A || C1D=> (B10, C1D) = AB10.

2. v Δ AB 1 C AB 1 \u003d B 1 C = AC jako úhlopříčky stejných čtverců B 1 O - medián a osa AB1C=60° => AB10=30°.

c) ne, protože C 1 D || BA => (AC, C1D) \u003d B1 AC=60° jako rovnostranný úhel Δ AB 1 C.

Odpověď: b) 30°.

1. Aktualizace znalostí.

Metoda: frontální průzkum (ústní):

1. Jaké obory studuje geometrie?
2. Jaký je úhel mezi rovnoběžnými čarami?
3. Které obrazce studuje planimetrie a které tělesová geometrie?
4. Jaký je úhel zkosení?
5. Jak se nazývají dvě protínající se čáry, které svírají úhel 90°?

1. Upevňování naučeného.

Diktát (10 minut):

Možnost 1:

Hrana krychle je A

Najít: (AB 1,SS 1)

Řešení:

SS1‖BB1

(AB1,CC1) = AB1B

AB1B=45˚

Odpověď: (AB1, SS1) = 45˚

1. Nechť aab jsou protínající se přímky a přímka b 1 || b. Je pravda, že úhel mezi přímkami a a b se rovná úhlu mezi přímkami a a b? 1 ? Pokud ano, proč?

Možnost 2:

1. Jaký je úhel mezi šikmými čarami?

Hrana krychle je A

kolmost dvou čar.

1. Jsou-li přímky L 1 a L 2 dány obecnými rovnicemi

A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0,

pak je úhel mezi nimi roven úhlu mezi jejich normálami, tedy mezi vektory (A 1 ,B 1 ) a (A 2 ,B 2 ). Proto,

Podmínky rovnoběžnosti a kolmosti přímek se také redukují na podmínky rovnoběžnosti a kolmosti normál:

Podmínka rovnoběžnosti, (7.11)

- podmínka kolmosti. (7.12).

2. Jsou-li přímky dány kanonickými rovnicemi (7.5), analogicky s bodem 1 dostaneme:

, (7.13)

Podmínka rovnoběžnosti, (7.14)

- podmínka kolmosti. (7,16).

Zde a jsou směrové vektory čar.

3. Nechť jsou přímky L 1 a L 2 dány rovnicemi se sklonovými koeficienty (7.8)

y \u003d k 1 x + b 1 a y \u003d k 2 x + b 2, kde , a α 1 a α 2 jsou úhly sklonu přímek k ose Ox, pak pro úhel φ mezi přímkami platí rovnost: φ = α 2 - α 1 . Pak

Podmínka rovnoběžnosti má tvar: k 1 =k 2, (7.18)

podmínka kolmosti - k 2 \u003d -1 / k 1, (7,19)

protože v tomto případě tgφ neexistuje.

Vzdálenost od bodu k přímce.

Uvažujme přímku L a nakreslete k ní z počátku kolmici OP (předpokládáme, že přímka počátkem neprochází). Nechť n je jednotkový vektor, jehož směr se shoduje s OP. Sestavme rovnici přímky L, která obsahuje dva parametry: p je délka úsečky OP a α je úhel mezi OP a Ox.

Pro bod M ležící na L průmět vektoru OM na přímku

NEBO se rovná p. Na druhé straně, pr n OM=n OM. Protože

n =(cos α , hřích α ), a OM ={x, y), chápeme to

X cos + y sinα = p, nebo

X cos + y sinα- p = 0 - (7.20)

Požadovaná rovnice přímky L volal normální

rovnice přímky(pojem "normální rovnice" souvisí

takže ten řez NEBO je kolmá nebo kolmá k dané přímce).

Definice 7.2. Li d- vzdálenost od bodu A do rovného L, Že odchylkaδ bodů A z rovného L je tam číslo + d pokud bod A a počátek souřadnic leží na opačných stranách přímky L a číslo d pokud leží na stejné straně L.

Věta 7.1. Bodová odchylka A(x 0, y 0) z linky L daná rovnicí (7.20) je určena vzorcem:

Důkaz.

Projekce OQ vektor OA ke směru NEBO je rovný

není =x0 cos + y 0 sinα. Proto δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=

x0 cos + y 0 sinα -p, což mělo být prokázáno

Následek.

Vzdálenost od bodu k přímce je definována takto:

Komentář. Chcete-li uvést obecnou rovnici přímky do normálního tvaru, musíte ji vynásobit číslem a znaménko je vybráno proti znaménku volného členu. S v obecné rovnici přímky. Toto číslo se nazývá normalizační faktor.

Příklad. Najděte vzdálenost od bodu A(7,-3) na přímku danou rovnicí

3X + 4na + 15 = 0. A² + B²=9+16=25, C=15>0, takže normalizační faktor je roven

1/5 a normální rovnice přímky má tvar: Dosazením souřadnic bodu na jeho levé straně místo x a y A, zjistíme, že jeho odchylka od přímky je rovna

Proto vzdálenost od bodu A k této přímce je 4,8.

8. Čára a rovina v prostoru. Rovnice roviny a přímky v prostoru. Úhel mezi rovinami. Úhel mezi přímkou ​​a rovinou.

Všimněte si, že mnoho tvrzení a vzorců týkajících se roviny v prostoru je dokazováno a odvozeno stejným způsobem jako při studiu přímky na rovině, takže v těchto případech bude odkazováno na předchozí přednášku.

letadlo ve vesmíru.

Nejprve získáme rovnici roviny procházející bodem M 0 (x 0, y 0, z 0) kolmo k vektoru n = {A, B, C), nazývaná normála k rovině. Pro jakýkoli bod v rovině M(x, y, z) vektor M 0 M = {x - x 0, y - y 0, z - z 0) je ortogonální k vektoru n jejich skalární součin je tedy roven nule:

A(x - x0) + B(y - y 0) + C(z - z0) = 0. (8.1)

Získá se rovnice, která je splněna kterýmkoli bodem dané roviny - rovnice roviny procházející daným bodem kolmým na daný vektor.

Po zmenšení podobných můžeme do tvaru napsat rovnici (8.1).

V této lekci definujeme kodirectional paprsky a dokážeme větu o rovnosti úhlů se souměrnými stranami. Dále uvedeme definici úhlu mezi protínajícími se čarami a šikmými čarami. Zvažte, jaký může být úhel mezi dvěma přímkami. Na konci lekce vyřešíme několik problémů pro nalezení úhlů mezi šikmými čarami.

Téma: Rovnoběžnost přímek a rovin

Lekce: Úhly se souměrnými stranami. Úhel mezi dvěma čarami

Například jakýkoli řádek OO 1(obr. 1.), rozřeže rovinu na dvě poloroviny. Pokud paprsky OA A O 1 A 1 jsou rovnoběžné a leží ve stejné polorovině, nazývají se kosměrný.

Paprsky O 2 A 2 A OA nejsou kosměrné (obr. 1.). Jsou rovnoběžné, ale neleží ve stejné polorovině.

Pokud jsou strany dvou úhlů souměrné, pak jsou tyto úhly stejné.

Důkaz

Nechť jsou nám dány rovnoběžné paprsky OA A O 1 A 1 a paralelní nosníky OV A Asi 1 v 1(obr. 2.). To znamená, že máme dva rohy AOB A A 1 O 1 B 1 jehož strany leží na kodirectních paprscích. Dokážeme, že tyto úhly jsou stejné.

Na straně trámu OA A O 1 A 1 vybrat body A A A 1 takže segmenty OA A O 1 A 1 byli si rovni. Stejně tak tečky V A V 1 vyberte tak, aby segmenty OV A Asi 1 v 1 byli si rovni.

Zvažte čtyřúhelník A 1 O 1 OA(Obr. 3.) OA A O 1 A 1 A 1 O 1 OA A 1 O 1 OA OO 1 A AA 1 paralelní a rovné.

Zvažte čtyřúhelník B 1 O 1 OB. Na této čtyřúhelníkové straně OV A Asi 1 v 1 paralelní a rovné. Na základě rovnoběžníku čtyřúhelník B 1 O 1 OB je rovnoběžník. Protože B 1 O 1 OB- rovnoběžník, pak strany OO 1 A BB 1 paralelní a rovné.

A rovnou AA 1 rovnoběžná s přímkou OO 1 a přímka BB 1 rovnoběžná s přímkou OO 1, znamená rovný AA 1 A BB 1 jsou paralelní.

Zvažte čtyřúhelník B 1 A 1 AB. Na této čtyřúhelníkové straně AA 1 A BB 1 paralelní a rovné. Na základě rovnoběžníku čtyřúhelník B 1 A 1 AB je rovnoběžník. Protože B 1 A 1 AB- rovnoběžník, pak strany AB A A 1 B 1 paralelní a rovné.

Zvažte trojúhelníky AOB A A 1 O 1 B 1. Večírky OA A O 1 A 1 ve stavebnictví jsou si rovni. Večírky OV A Asi 1 v 1 jsou si rovni i ve stavebnictví. A jak jsme dokázali, strany AB A A 1 B 1 jsou si také rovni. Takže trojúhelníky AOB A A 1 O 1 B 1 na třech stranách stejné. Stejné trojúhelníky mají stejné úhly na opačných stejných stranách. Takže rohy AOB A A 1 O 1 B 1 jsou si rovni, což mělo být prokázáno.

1) Protínající se čáry.

Pokud se přímky protínají, pak máme čtyři různé úhly. Úhel mezi dvěma čarami, je nejmenší z úhlů mezi dvěma úsečkami. Úhel mezi protínajícími se čarami A A b značí α (obr. 4.). Úhel α je takový, že .

Rýže. 4. Úhel mezi dvěma protínajícími se čarami

2) Protínající se čáry

Nechte rovnou A A b přechod. Vyberte libovolný bod O. Skrz tečku O nakreslíme rovnou čáru 1, rovnoběžně s čárou A a přímé b 1, rovnoběžně s čárou b(obr. 5.). Přímo 1 A b 1 protínají v bodě O. Úhel mezi dvěma protínajícími se čarami 1 A b 1, úhel φ, a nazývá se úhel mezi šikmými čarami.

Rýže. 5. Úhel mezi dvěma protínajícími se čarami

Závisí hodnota úhlu na zvoleném bodu O? Vyberte bod Asi 1. Skrz tečku Asi 1 nakreslíme rovnou čáru a 2, rovnoběžně s čárou A a přímé b 2, rovnoběžně s čárou b(obr. 6.). Úhel mezi protínajícími se čarami a 2 A b 2 označovat φ 1. Pak úhly φ A φ 1 - rohy se souběžnými stranami. Jak jsme si ukázali, takové úhly jsou si navzájem rovné. To znamená, že úhel mezi šikmými čarami nezávisí na volbě bodu O.

Přímo OV A CD paralelní, OA A CD křížit se. Najděte úhel mezi čarami OA A CD, Pokud:

1) ∠AOB= 40°.

Vyberte bod S. Projděte to přímo CD. Pojďme utrácet SA 1 paralelní OA(obr. 7.). Pak úhel 1 CD- úhel mezi protínajícími se čarami OA A CD. Podle úhlové věty se souměrnými stranami úhel 1 CD rovný úhlu AOB, tj. 40°.

Rýže. 7. Najděte úhel mezi dvěma čarami

2) ∠AOB= 135°.

Udělejme stejnou konstrukci (obr. 8.). Potom úhel mezi šikmými čarami OA A CD se rovná 45°, protože je to nejmenší z úhlů, které se získají křížením čar CD A SA 1.

3) ∠AOB= 90°.

Udělejme stejnou konstrukci (obr. 9.). Pak všechny úhly, které se získají, když se přímky protnou CD A SA 1 jsou rovny 90°. Požadovaný úhel je 90°.

1) Dokažte, že středy stran prostorového čtyřúhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku.

Důkaz

Nechť je nám dán prostorový čtyřúhelník abeceda. M,N,K,L- střed žeber BD,INZERÁT,AC,před naším letopočtem respektive (obr. 10.). Musíme to dokázat MNKL- rovnoběžník.

Zvažte trojúhelník ABD. MN MN paralelní AB a rovná se polovině.

Zvažte trojúhelník ABC. LC- střední čára. Podle vlastnosti střední čáry LC paralelní AB a rovná se polovině.

A MN, A LC jsou paralelní AB. Prostředek, MN paralelní LC podle věty o třech rovnoběžných přímkách.

Dostáváme to ve čtyřúhelníku MNKL- strany MN A LC jsou paralelní a rovní, protože MN A LC rovná polovině AB. Takže podle kritéria rovnoběžníku čtyřúhelník MNKL je rovnoběžník, jak je požadováno.

2) Najděte úhel mezi čarami AB A CD pokud úhel MNK= 135°.

Jak jsme již dokázali, MN rovnoběžná s přímkou AB. NK- střední čára trojúhelníku ACD podle majetku, NK paralelní DC. Takže přes bod N projít dvě přímky MN A NK, které jsou rovnoběžné se šikmými čarami AB A DC respektive. Tedy úhel mezi čarami MN A NK je úhel mezi šikmými čarami AB A DC. Je nám dán tupý úhel MNK= 135°. Úhel mezi čarami MN A NK- nejmenší z úhlů získaných v průsečíku těchto čar, to znamená 45 °.

Zvažovali jsme tedy úhly se souměrnými stranami a dokázali jsme jejich rovnost. Uvažovali jsme o úhlech mezi protínajícími se a křížícími se čarami a řešili jsme několik problémů při hledání úhlu mezi dvěma čarami. V další lekci budeme pokračovat v řešení úloh a zopakování teorie.

1. Geometrie. Třída 10-11: učebnice pro studenty vzdělávacích institucí (základní a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, opraveno a doplněno - M .: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : nemocný.

2. Geometrie. 10.-11. ročník: Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce / Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: nemocný.

3. Geometrie. 10. třída: Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce s hloubkovým a profilovým studiem matematiky / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydání, stereotyp. - M. : Drop, 008. - 233 s. :nemocný.

V) před naším letopočtem A D 1 V 1.

Rýže. 11. Najděte úhel mezi čarami

4. Geometrie. Třída 10-11: učebnice pro studenty vzdělávacích institucí (základní a profilová úroveň) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydání, opraveno a doplněno - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: ill.

Úkoly 13, 14, 15 str. 54

Tento materiál je věnován takovému konceptu, jako je úhel mezi dvěma protínajícími se přímkami. V prvním odstavci si vysvětlíme, co to je, a ukážeme to na ilustracích. Poté analyzujeme, jak můžete najít sinus, kosinus tohoto úhlu a samotný úhel (samostatně zvážíme případy s rovinou a trojrozměrným prostorem), dáme potřebné vzorce a na příkladech ukážeme, jak přesně se používají v praxi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Abychom pochopili, co je úhel sevřený v průsečíku dvou přímek, musíme si připomenout samotnou definici úhlu, kolmosti a průsečíku.

Definice 1

Dvě přímky nazýváme protínající se, pokud mají jeden společný bod. Tento bod se nazývá průsečík dvou přímek.

Každá čára je rozdělena průsečíkem na paprsky. V tomto případě obě čáry svírají 4 úhly, z nichž dva jsou svislé a dva sousedí. Pokud známe míru jednoho z nich, pak můžeme určit ostatní zbývající.

Řekněme, že víme, že jeden z úhlů je roven α. V takovém případě bude úhel, který je k němu svislý, také roven α. Abychom našli zbývající úhly, musíme vypočítat rozdíl 180 ° - α . Pokud se α rovná 90 stupňům, pak budou všechny úhly pravé. Přímky protínající se v pravých úhlech se nazývají kolmé (pojmu kolmosti je věnován samostatný článek).

Podívejte se na obrázek:

Pojďme k formulaci hlavní definice.

Definice 2

Úhel tvořený dvěma protínajícími se čarami je mírou menšího ze 4 úhlů, které tvoří tyto dvě čáry.

Z definice je třeba vyvodit důležitý závěr: velikost úhlu v tomto případě bude vyjádřena libovolným reálným číslem v intervalu (0 , 90 ] . Jsou-li přímky kolmé, pak úhel mezi nimi bude v každém případě rovných 90 stupňů.

Schopnost najít míru úhlu mezi dvěma protínajícími se čarami je užitečná pro řešení mnoha praktických problémů. Způsob řešení lze vybrat z několika možností.

Pro začátek můžeme vzít geometrické metody. Pokud víme něco o dalších úhlech, pak je můžeme spojit s úhlem, který potřebujeme, pomocí vlastností stejných nebo podobných tvarů. Známe-li například strany trojúhelníku a potřebujeme vypočítat úhel mezi úsečkami, na kterých se tyto strany nacházejí, pak je k řešení vhodná kosinová věta. Pokud máme v podmínce pravoúhlý trojúhelník, tak pro výpočty budeme potřebovat znát i sinus, kosinus a tangens úhlu.

Souřadnicová metoda je také velmi vhodná pro řešení problémů tohoto typu. Pojďme si vysvětlit, jak jej správně používat.

Máme pravoúhlý (kartézský) souřadnicový systém O x y se dvěma přímkami. Označme je písmeny a a b. V tomto případě mohou být přímky popsány pomocí libovolných rovnic. Původní čáry mají průsečík M . Jak určit požadovaný úhel (označme ho α) mezi těmito úsečkami?

Začněme formulací základního principu hledání úhlu za daných podmínek.

Víme, že takové pojmy jako směrování a normálový vektor úzce souvisí s pojmem přímka. Pokud máme rovnici nějaké přímky, můžeme z ní vzít souřadnice těchto vektorů. Můžeme to udělat pro dvě protínající se čáry najednou.

Úhel tvořený dvěma protínajícími se čarami lze najít pomocí:

• úhel mezi směrovými vektory;
• úhel mezi normálovými vektory;
• úhel mezi normálovým vektorem jedné přímky a směrovým vektorem druhé.

Nyní se podívejme na každou metodu zvlášť.

1. Předpokládejme, že máme přímku a se směrovým vektorem a → = (a x , a y) a přímku b se směrovým vektorem b → (b x , b y) . Nyní odložme dva vektory a → a b → z průsečíku. Poté uvidíme, že každý bude umístěn na své vlastní lince. Pak máme čtyři možnosti jejich relativní polohy. Viz ilustrace:

Pokud úhel mezi dvěma vektory není tupý, pak to bude úhel, který potřebujeme mezi protínajícími se přímkami a a b. Pokud je tupý, pak se požadovaný úhel bude rovnat úhlu sousedícímu s úhlem a → , b → ^ . Tedy α = a → , b → ^ pokud a → , b → ^ ≤ 90 ° a α = 180 ° - a → , b → ^ pokud a → , b → ^ > 90 ° .

Na základě skutečnosti, že kosinus stejných úhlů jsou stejné, můžeme výsledné rovnosti přepsat takto: cos α = cos a → , b → ^ pokud a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ pokud a → , b → ^ > 90 ° .

Ve druhém případě byly použity redukční vzorce. Tím pádem,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napišme poslední vzorec slovy:

Definice 3

Kosinus úhlu tvořeného dvěma protínajícími se úsečkami se bude rovnat modulu kosinusu úhlu mezi jeho směrovými vektory.

Obecný tvar vzorce pro kosinus úhlu mezi dvěma vektory a → = (a x, a y) a b → = (b x, b y) vypadá takto:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Z toho můžeme odvodit vzorec pro kosinus úhlu mezi dvěma danými přímkami:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Samotný úhel pak lze najít pomocí následujícího vzorce:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Zde a → = (a x , a y) a b → = (b x , b y) jsou směrové vektory daných čar.

Uveďme příklad řešení problému.

Příklad 1

V pravoúhlém souřadnicovém systému jsou v rovině dány dvě protínající se přímky a a b. Lze je popsat parametrickými rovnicemi x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R a x 5 = y - 6 - 3 . Vypočítejte úhel mezi těmito čarami.

Řešení

V podmínce máme parametrickou rovnici, což znamená, že pro tuto přímku si můžeme rovnou zapsat souřadnice jejího směrového vektoru. K tomu potřebujeme vzít hodnoty koeficientů u parametru, tzn. přímka x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R bude mít směrový vektor a → = (4 , 1) .

Druhá přímka je popsána pomocí kanonické rovnice x 5 = y - 6 - 3 . Zde můžeme vzít souřadnice ze jmenovatelů. Tato přímka má tedy směrový vektor b → = (5 , - 3) .

Dále přistoupíme přímo k nalezení úhlu. Chcete-li to provést, jednoduše dosaďte dostupné souřadnice dvou vektorů do výše uvedeného vzorce α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Získáme následující:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a rc cos 17 17 34 = a rc cos 1 2 = 45°

Odpovědět: Tyto čáry svírají úhel 45 stupňů.

Podobný problém můžeme vyřešit nalezením úhlu mezi normálovými vektory. Máme-li přímku a s normálním vektorem n a → = (n a x , n a y) a přímku b s normálovým vektorem n b → = (n b x , n b y) , pak bude úhel mezi nimi roven úhlu mezi n a → a n b → nebo úhel, který bude sousedit s n a → , n b → ^ . Tato metoda je znázorněna na obrázku:

Vzorce pro výpočet kosinusu úhlu mezi protínajícími se čarami a tímto úhlem samotným pomocí souřadnic normálních vektorů vypadají takto:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 n b y 2

Zde n a → an b → označují normálové vektory dvou daných čar.

Příklad 2

Dvě přímky jsou dány v pravoúhlém souřadnicovém systému pomocí rovnic 3 x + 5 y - 30 = 0 a x + 4 y - 17 = 0 . Najděte sinus, kosinus úhlu mezi nimi a velikost samotného úhlu.

Řešení

Původní přímky jsou dány pomocí normálních přímkových rovnic ve tvaru A x + B y + C = 0 . Označme normálový vektor n → = (A , B) . Najdeme souřadnice prvního normálového vektoru pro jednu přímku a zapíšeme je: n a → = (3 , 5) . Pro druhou přímku x + 4 y - 17 = 0 bude mít normálový vektor souřadnice n b → = (1 , 4) . Nyní přidejte získané hodnoty do vzorce a vypočítejte součet:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Pokud známe kosinus úhlu, pak můžeme jeho sinus vypočítat pomocí základní goniometrické identity. Protože úhel α tvořený přímkami není tupý, pak sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

V tomto případě α = a rc cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34 .

Odpověď: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a rc sin 7 2 34

Rozeberme si poslední případ – zjištění úhlu mezi úsečkami, známe-li souřadnice směrového vektoru jedné přímky a normálového vektoru druhé.

Předpokládejme, že přímka a má směrový vektor a → = (a x , a y) a přímka b má normální vektor n b → = (n b x , n b y) . Musíme tyto vektory od průsečíku odložit a zvážit všechny možnosti jejich vzájemné polohy. Viz obrázek:

Pokud úhel mezi danými vektory není větší než 90 stupňů, ukáže se, že doplní úhel mezi a a b do pravého úhlu.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , pokud a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Pokud je méně než 90 stupňů, dostaneme následující:

a → , n b → ^ > 90 ° , pak a → , n b → ^ = 90 ° + α

Pomocí pravidla rovnosti kosinů o stejných úhlech píšeme:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pro a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α při a → , n b → ^ > 90 ° .

Tím pádem,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Pojďme formulovat závěr.

Definice 4

Chcete-li najít sinus úhlu mezi dvěma přímkami protínajícími se v rovině, musíte vypočítat modul kosinus úhlu mezi směrovým vektorem první přímky a normálovým vektorem druhé.

Zapišme si potřebné vzorce. Nalezení sinusu úhlu:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Nalezení samotného rohu:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Zde a → je směrový vektor prvního řádku a n b → je normálový vektor druhého.

Příklad 3

Dvě protínající se přímky jsou dány rovnicemi x - 5 = y - 6 3 a x + 4 y - 17 = 0 . Najděte úhel průsečíku.

Řešení

Z uvedených rovnic vezmeme souřadnice směrového a normálového vektoru. Ukazuje se a → = (- 5, 3) ​​an → b = (1, 4) . Vezmeme vzorec α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 a uvažujeme:

α = a rc sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a rc sin 7 2 34

Všimněte si, že jsme převzali rovnice z předchozí úlohy a dostali jsme přesně stejný výsledek, ale jiným způsobem.

Odpovědět:α = a rc sin 7 2 34

Zde je další způsob, jak najít požadovaný úhel pomocí koeficientů sklonu daných čar.

Máme přímku a , která je definována v pravoúhlém souřadnicovém systému pomocí rovnice y = k 1 · x + b 1 , a přímku b , definovanou jako y = k 2 · x + b 2 . Jedná se o rovnice přímek se sklonem. Chcete-li zjistit úhel průsečíku, použijte vzorec:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, kde k 1 a k 2 jsou sklony daných čar. K získání tohoto záznamu byly použity vzorce pro určení úhlu přes souřadnice normálových vektorů.

Příklad 4

V rovině se protínají dvě přímky dané rovnicemi y = - 3 5 x + 6 a y = - 1 4 x + 17 4 . Vypočítejte úhel průsečíku.

Řešení

Sklony našich čar se rovnají k 1 = - 3 5 ak 2 = - 1 4 . Sečteme je do vzorce α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 a vypočítejme:

α = a rc cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a rc cos 23 20 34 24 17 16 = a rc cos 23 2 34

Odpovědět:α = a rc cos 23 2 34

V závěrech tohoto odstavce je třeba poznamenat, že zde uvedené vzorce pro zjištění úhlu se nemusí učit nazpaměť. K tomu stačí znát souřadnice vodítek a/nebo normálových vektorů daných čar a umět je určit pomocí různých typů rovnic. Ale vzorce pro výpočet kosinusu úhlu je lepší si zapamatovat nebo zapsat.

Jak vypočítat úhel mezi protínajícími se čarami v prostoru

Výpočet takového úhlu lze zredukovat na výpočet souřadnic směrových vektorů a určení velikosti úhlu, který tyto vektory svírají. Pro takové příklady používáme stejnou úvahu, kterou jsme uvedli dříve.

Řekněme, že máme pravoúhlý souřadnicový systém umístěný ve 3D prostoru. Obsahuje dvě přímky a a b s průsečíkem M . Pro výpočet souřadnic směrových vektorů potřebujeme znát rovnice těchto přímek. Označme směrové vektory a → = (a x , a y , a z) a b → = (b x , b y , b z) . Pro výpočet kosinusu úhlu mezi nimi použijeme vzorec:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

K nalezení samotného úhlu potřebujeme tento vzorec:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Příklad 5

Máme přímku definovanou v 3D prostoru pomocí rovnice x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Je známo, že se protíná s osou O z. Vypočítejte úhel průsečíku a kosinus tohoto úhlu.

Řešení

Úhel, který se má vypočítat, označme písmenem α. Zapišme si souřadnice směrového vektoru pro první přímku - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pro osu aplikace můžeme jako vodítko použít souřadnicový vektor k → = (0 , 0 , 1). Obdrželi jsme potřebné údaje a můžeme je přidat do požadovaného vzorce:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ve výsledku jsme dostali, že úhel, který potřebujeme, bude roven a r c cos 1 2 = 45 °.

Odpovědět: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.