Десятичная дробь. Десятичные дроби
При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая - под запятой, и сложить дроби так, как складывают натуральные числа. Сложим, напрнмер, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а вторая - три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь так, чтобы после запятой было три цифры: , тогда
Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Найдем разность чисел 13,1 и 0,37:
При умножении десятичных дробей достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем . Запятой отделим справа две цифры (сумма цифр у множителей после запятой равна двум). В итоге получаем 2,7 1,3=3,51.
Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Рассмотрим умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем . Отделив справа запятой три цифры, получим Но . Значит,
12 733 10=127,33. Таким образом, умножение десятичной дроби на Ю сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.
Вообще чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо Сприписав в случае необходимости к дроби справа определенное число нулей). Например,
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части. Пусть надо разделить 22,1 на 13:
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Для этого и в делимом, и в делителе перенесем запятую вправо на столько цифр, сколько их имеется после запятой в делителе (в данном примере на две). Иными словами, умножим делимое и делитель на 100 - от этого частное не изменится. Тогда нужно разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т. е. задача сводится к уже рассмотренному случаю:
Чтобы разделить десятичную дробь на надо в этой дроби перенести запятую на цифр влево (при этом в случае необходимости слева приписывается нужное число нулей). Например, .
Как для натуральных чисел деление не всегда выполнимо, так оно не всегда выполнимо и для десятичных дробей. Разделим для примера 2,8 на 0,09:
В результате получается так называемая бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям. Например:
Может оказаться так, что одни числа записаны в виде обыкновенных дробей, другие - в виде смешанных чисел, третьи - в виде десятичных дробей. При выполнении действий над такими числами можно поступать по-разному: либо обратить десятичные дроби в обыкновенные и применить правила действий над обыкновенными дробями, либо обратить обыкновенные дроби и смешанные числа в десятичные дроби (если это возможно) и применить правила действий над десятичными дробями.
Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные . На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Также мы узнали, что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.
Мы ещё не до конца изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходиться сочетать. То есть, при решении задач приходиться применять оба вида дробей.
Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.
Содержание урокаВыражение величин в дробном виде
Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:
Это выражение означает, что один дециметр был поделен на десять частей, и от этих десяти частей была взята одна часть:
Как видно на рисунке, одна десятая часть дециметра это один сантиметр.
Рассмотрим следующий пример. Показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.
Итак, требуется выразить 6 см и 3 мм в сантиметрах, но в дробном виде. 6 целых сантиметров у нас уже есть:
но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. 3 миллиметра это третья часть сантиметра. А третья часть сантиметра записывается как см
Дробь означает, что один сантиметр был разделен на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части (три из десяти).
В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:
При этом 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных сантиметров. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра» .
Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.
Например, запишем без знаменателя. Для этого сначала запишем целую часть. Целая часть это число 6. Записываем сначала это число:
Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:
И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:
Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью .
Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:
6,3 см
Выглядеть это будет следующим образом:
На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части стоят числа 10, 100, 1000 или 10000.
Как и смешанное число, десятичная дробь имеет целую часть и дробную. Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .
В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.
Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь без знаменателя будет записана следующим образом:
Читается как «ноль целых, пять десятых» .
Перевод смешанных чисел в десятичные дроби
Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым переводим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.
После того, как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример:
Сначала
И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части.
Итак, считаем количество нулей в дробной части смешанного числа . В знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2
Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2.
Эта десятичная дробь читается так:
«Три целых, две десятых»
«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа находится число 10.
Пример 2. Перевести смешанное число в десятичную дробь.
Записываем целую часть и ставим запятую:
И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим, что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.
В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3
Теперь можно перевести это смешанное число в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:
И записываем числитель дробной части:
Десятичная дробь 5,03 читается так:
«Пять целых, три сотых»
«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 100.
Пример 3. Перевести смешанное число в десятичную дробь.
Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.
Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.
В первую очередь смотрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:
Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это число 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед число 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:
Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала целую часть и ставим запятую:
и сразу записываем числитель дробной части
3,002
Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.
Десятичная дробь 3,002 читается так:
«Три целых, две тысячных»
«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 1000.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или 10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.
Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.
Пример 1.
Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:
Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой число 5
В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,5 читается так:
«Ноль целых, пять десятых»
Пример 2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и ставим запятую:
Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед числом 2 один ноль. Тогда дробь примет вид . Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:
В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,02 читается так:
«Ноль целых, две сотых».
Пример 3. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Записываем 0 и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дроби . Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед числом 5 дописать четыре нуля:
Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби
В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,00005 читается так:
«Ноль целых, пять стотысячных».
Перевод неправильных дробей в десятичную дробь
Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Встречаются неправильные дроби, у которых в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные дроби. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять целую часть.
Пример 1.
Дробь является неправильной дробью. Чтобы перевести такую дробь в десятичную дробь, нужно в первую очередь выделить у нее целую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к и изучить его.
Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10
Посмотрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Число 11 будет целой частью, число 2 — числителем дробной части, число 10 — знаменателем дробной части.
Мы получили смешанное число . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
В полученной десятичной дроби 11,2 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 11,2
Десятичная дробь 11,2 читается так:
«Одиннадцать целых, две десятых».
Пример 2. Перевести неправильную дробь в десятичную дробь.
Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе находится число 100.
В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим 450 на 100 уголком:
Соберём новое смешанное число — получим . А как переводить смешанные числа в десятичные дроби мы уже знаем.
Записываем целую часть и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
В полученной десятичной дроби 4,50 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена верно.
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 4,50
При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5
Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Поставим между ними знак равенства:
4,50 = 4,5
Возникает вопрос: а почему так происходит? Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».
Перевод десятичной дроби в смешанное число
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:
и рядом три десятых:
Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число
3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых
и рядом записываем две тысячных:
Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число
4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых
и рядом пятьдесят сотых:
Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Попробуем доказать, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.
После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в , а десятичная дробь 4,5 обращается в
Имеем два смешанных числа и . Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:
Теперь имеем две дроби и . Настало время вспомнить основное свойство дроби, которое говорит, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменяется.
Давайте разделим первую дробь на 10
Получили , а это вторая дробь. Значит и равны между собой и равны одному и тому же значению:
Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.
Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:
и рядом три десятых 0 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 0, а просто .
Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.
0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль по не записываем, поэтому сразу записываем две сотых
Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь
0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
§ 31. Задачи и примеры на все действия с десятичными дробями.
Выполнить указанные действия:
767. Найти частное от деления:
772. Вычислить:
Найти х , если:
776. Неизвестное число умножили на разность чисел 1 и 0,57 и в произведении получили 3,44. Найти неизвестное число.
777. Сумму неизвестного числа и 0,9 умножили на разность между 1 и 0,4 и в произведении получили 2,412. Найти неизвестное число.
778. По данным диаграммы о выплавке чугуна в РСФСР (рис. 36) составить задачу, для решения которой надо применить действия сложения, вычитания и деления.
779. 1) Длина Суэцкого канала 165,8 км, длина Панамского канала меньше Суэцкого на 84,7 км, а длина Беломорско-Балтийского канала на 145,9 км больше длины Панамского. Какова длина Беломорско-Балтийского канала?
2) Московское метро (к 1959 г.) было построено в 5 очередей. Длина первой очереди метро 11,6 км, второй -14,9 км, длина третьей на 1,1 км меньше длины второй очереди, длина четвёртой очереди на 9,6 км больше третьей очереди, а длина пятой очереди на 11,5 км меньше четвёртой. Чему равна длина Московского метро к началу 1959 г.?
780. 1) Наибольшая глубина Атлантического океана 8,5 км, наибольшая глубина Тихого ркеана на 2,3 км больше глубины Атлантического океана, а наибольшая глубина Северного Ледовитого океана в 2 раза меньше наибольшей глубины Тихого океана. Какова наибольшая глубина Северного Ледовитого океана?
2) Автомобиль «Москвич» на 100 км пути расходует 9 л бензина, автомобиль «Победа» на 4,5 л больше, чем расходует «Москвич», а «Волга» в 1,1 раза больше «Победы». Сколько бензина расходует автомобиль «Волга» на 1 км пути? (Ответ округлить с точностью до 0,01 л.)
781. 1) Ученик во время каникул поехал к дедушке. По железной дороге он ехал 8,5 часа, а от станции на лошадях 1,5 часа. Всего он проехал 440 км. С какой скоростью ученик ехал по железной дороге, если на лошадях он ехал со скоростью 10 км в час?
2) Колхознику надо было быть в пункте, находящемся на расстоянии 134,7 км от его дома. 2,4 часа он ехал на автобусе со средней скоростью 55 км в час, а остальную часть пути он прошёл пешком со скоростью 4,5 км в час. Сколько времени он шёл пешком?
782. 1) За лето один суслик уничтожает около 0,12 ц хлеба. Пионеры весной истребили на 37,5 га 1 250 сусликов. Сколько хлеба сохранили школьники для колхоза? Сколько сбережённого хлеба приходится на 1 га?
2) Колхоз подсчитал, что, уничтожив сусликов на площади в 15 га пашни, школьники сберегли 3,6 т зерна. Сколько сусликов в среднем уничтожено на 1 га земли, если один суслик за лето уничтожает 0,012 т зерна?
783. 1) При размоле пшеницы на муку теряется 0,1 её веса, а при выпечке получается припёк, равный 0,4 веса муки. Сколько печёного хлеба получится из 2,5 т пшеницы?
2) Колхоз собрал 560 т семян подсолнуха. Сколько подсолнечного масла изготовят из собранного зерна, если вес зерна составляет 0,7 веса семян подсолнуха, а вес полученного масла составляет 0,25 веса зерна?
784. 1) Выход сливок из молока составляет 0,16 веса молока, а выход масла из сливок составляет 0,25 веса сливок. Сколько требуется молока (по весу) для получения 1 ц масла?
2) Сколько килограммов белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушёных, если при подготовке к сушке остаётся 0,5 веса, а при сушке остаётся 0,1 веса обработанного гриба?
785. 1) Земля, отведённая колхозу, использована так: 55% её занято пашней, 35% -лугом, а вся остальная земля в количестве 330,2 га отведена под колхозный сад и под усадьбы колхозников. Сколько всего земли в колхозе?
2) Колхоз засеял 75% всей посевной площади зерновыми культурами, 20% -овощными, а остальную площадь кормовыми травами. Сколько посевной площади имел колхоз, если кормовыми травами он засеял 60 га?
786. 1) Сколько центнеров семян потребуется для засева поля, имеющего форму прямоугольника длиной 875 м и шириной 640 м, если на 1 га высевать 1,5 ц семян?
2) Сколько центнеров семян потребуется для засева поля, имеющего форму прямоугольника, если его периметр равен 1,6 км? Ширина поля 300 м. На засев 1 га требуется 1,5 ц семян.
787. Сколько пластинок квадратной формы со стороной в 0,2 дм поместится в прямоугольнике размером 0,4 дм х 10 дм?
788. Читальный зал имеет размеры 9,6 м х 5м х 4,5 м. На сколько мест рассчитан читальный зал, если на каждого человека необходимо 3 куб. м воздуха?
789. 1) Какую площадь луга скосит трактор с прицепом четырёх косилок за 8 час, если ширина захвата каждой косилки 1,56 м и скорость трактора 4,5 км в час? (Время на остановки не учитывается.) (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)
2) Ширина захвата тракторной овощной сеялки равна 2,8 м. Какую площадь можно засеять этой сеялкой за 8 час. работы при скорости 5 км в час?
790. 1) Найти выработку трёхкорпусного тракторного плуга за 10 час. работы, если скорость трактора 5 км в час, захват одного корпуса 35 см, а непроизводительная трата времени составила 0,1 всего затраченного времени. (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)
2) Найти выработку пятикорпусного тракторного плуга за 6 час. работы, если скорость трактора 4,5 км в час, захват одного корпуса 30 см, а непроизводительная трата времени составила 0,1 всего затраченного времени. (Ответ округлить с точностью до 0,1 га.)
791. Расход воды на 5 км пробега для паровоза пассажирского поезда равен 0,75 т. Водяной бак тендера вмещает 16,5 т воды. На сколько километров пути хватит воды поезду, если бак был наполнен на 0,9 своей вместимости?
792. На запасном пути могут поместиться только 120 товарных вагонов при средней длине вагона в 7,6 м. Сколько поместится на этом пути четырёхосных пассажирских вагонов длиной в 19,2 м каждый, если на этом пути будут помещены ещё 24 товарных вагона?
793. Для прочности железнодорожной насыпи рекомендуется производить укрепление откосов посредством посева полевых трав. На каждый квадратный метр насыпи требуется 2,8 г семян стоимостью 0,25 руб. за 1 кг. Сколько будет стоить засев 1,02 га откосов, если стоимость работ составит 0,4 от стоимости семян? (Ответ округлить с точностью до 1 руб.)
794. Кирпичный завод доставил на станцию железной дороги кирпичи. На перевозке кирпичей работали 25 лошадей и 10 грузовых машин. Каждая лошадь перевозила 0,7 т за одну поездку и в день совершала 4 поездки. Каждая машина перевозила за одну поездку 2,5 т и в день совершала 15 поездок. Перевозка продолжалась 4 дня. Сколько штук кирпичей было доставлено на станцию, если средний вес одного кирпича 3,75 кг? (Ответ округлить с точностью до 1 тыс. штук.)
795. Запас муки был распределён между тремя пекарнями: первая получила 0,4 всего запаса, вторая 0,4 остатка, а третья пекарня получила муки на 1,6 т меньше, чем первая. Сколько всего муки было распределено?
796. На втором курсе института 176 студентов, на третьем 0,875 этого числа, а на первом в полтора раза больше того, что было на третьем курсе. Число студентов на первом, втором и третьем курсах составляло 0,75 всего числа студентов этого института. Сколько студентов было в институте?
___________
797. Найти среднее арифметическое:
1) двух чисел: 56,8 и 53,4; 705,3 и 707,5;
2) трёх чисел: 46,5; 37,8 и 36; 0,84; 0,69 и 0,81;
3) четырёх чисел: 5,48; 1,36; 3,24 и 2,04.
798. 1) Утром температура была 13,6°, в полдень 25,5°, а вечером 15,2°. Вычислить среднюю температуру за этот день.
2) Какова средняя температура за неделю, если в течение недели термометр показал: 21°; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°?
799. 1) Школьная бригада в первый день прополола 4,2 га свёклы, во второй день 3,9 га, а в третий 4,5 га. Определять среднюю выработку бригады за день.
2) Для установления нормы времени на изготовление новой детали были поставлены 3 токаря. Первый изготовил деталь за 3,2 мин., второй за 3,8 мин., а третий за 4,1 мин. Вычислить норму времени, которая была установлена на изготовление детали.
800. 1) Среднее арифметическое двух чисел 36,4. Одно из этих чисел 36,8. Найти другое.
2) Температуру воздуха измеряли три раза в день: утром, в полдень и вечером. Найти температуру воздуха утром, если в полдень было 28,4°, вечером 18,2° тепла, а средняя температура дня 20,4°.
801. 1) Автомобиль проехал за первые два часа 98,5 км, а за последующие три часа 138 км. Сколько километров в среднем проезжал автомобиль в час?
2) Пробный улов и взвешивание карпов-годовичков показал, что из 10 карпов 4 имели вес по 0,6 кг, 3 по 0,65 кг, 2 по 0,7 кг и 1 весил 0,8 кг. Каков в среднем вес карпа-годовичка?
802. 1) К 2 л сиропа стоимостью 1,05 руб. за 1 л добавили 8 л воды. Сколько стоит 1 л полученной воды с сиропом?
2) Хозяйка купила банку консервированного борща объёмом 0,5 л за 36 коп. и прокипятила с 1,5 л воды. Во что обошлась тарелка борща, если её объём равен 0,5 л?
803. Лабораторная работа «Измерение расстояния между двумя точками»,
1-й приём. Измерение рулеткой (мерной лентой). Класс разбивается на звенья по три человека в каждом. Принадлежности: 5-6 вех и 8-10 бирок.
Ход выполнения работы: 1) отмечаются точки А и Б и между ними провешивают прямую (см. задачу 178); 2) укладывают рулетку, вдоль провешенной прямой и каждый раз отмечают биркой конец рулетки. 2-й приём. Измерение, шагами. Класс разбивается на звенья по три человека в каждом. Каждый учащийся проходит расстояние от А до Б, считая число своих шагов. Умножив среднюю длину своего шага на полученное число шагов, находят расстояние от А до Б.
3-й приём. Измерение "на глаз" . Каждый из учащихся вытягивает левую руку с поднятым большим пальцем (рис. 37) и направляет большой палец на веху в точку Б (на рисунке - дерево) так, чтобы левый глаз (точка А), большой палец и точка Б находились на одной прямой. Не изменяя положения, закрывают левый глаз и смотрят правым на большой палец. Измеряют на глаз полученное смещение и увеличивают его в 10 раз. Это и есть расстояние от А до Б.
_________________
804. 1) По переписи 1959 г. население СССР составляло 208,8 млн. человек, причем сельского населения было на 9,2 млн. человек больше, чем городского. Сколько было городского и сколько сельского населения в СССР в 1959 г.?
2) По переписи 1913 г. население России составляло 159,2 млн. человек, причём городского населения было на 103,0 млн. человек меньше, чем сельского. Сколько было городского и сельского населения в России в 1913 г.?
805. 1) Длина проволоки 24,5 м. Эту проволоку разрезали на две части так, что первая часть получилась на 6,8 м длиннее, чем вторая. Сколько метров длины имеет каждая часть?
2) Сумма двух чисел 100,05. Одно число на 97,06 больше другого. Найти эти числа.
806. 1) На трёх угольных складах 8656,2 т угля, на втором складе на 247,3 т угля больше, чем на первом, а на третьем на 50,8 т больше, чем на втором. Сколько тонн угля на каждом складе?
2) Сумма трёх чисел 446,73. Первое число меньше второго на 73,17 и больше третьего на 32,22. Найти эти числа.
807. 1) Катер по течению реки шёл со скоростью 14,5 км в час, а против течения со скоростью 9,5 км в час. Какова скорость катера в стоячей воде и какова скорость течения реки?
2) Пароход прошёл за 4 часа по течениию реки 85,6 км, а против течения за 3 часа 46,2 км. Какова скорость парохода в стоячей воде и какова скорость течения реки?
_________
808. 1) Два парохода доставили 3 500 т груза, причём один пароход доставил в 1,5 раза груза больше, чем другой. Сколько груза доставил каждый пароход?
2) Площадь двух комнат 37,2 кв. м. Площадь одной комнаты в 2 раза больше другой. Чему равна площадь каждой комнаты?
809. 1) Из двух населённых пунктом, расстояние между которыми 32,4 км одновременно выехали навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист. Сколько километров проедет каждый из них до встречи, если скорость мотоциклиста в 4 раза больше скорости велосипедиста?
2) Найти два числа, сумма которых 26,35, а частное от деления одного числа на другое равно 7,5.
810. 1) Завод отправил три вида груза общим весом в 19,2 т. Вес груза первого вида был втрое больше веса груза второго вида, а вес груза третьего вида был вдвое меньше, чем вес груза первого и второго видов вместе. Каков вес груза каждого вида?
2) За три месяца бригада горняков добыла 52,5 тыс. т железной руды. За март добыто в 1,3, за февраль в 1,2 раза больше, чем за январь. Сколько руды добывала бригада ежемесячно?
811. 1) Газопровод Саратов - Москва на 672 км длиннее канала имени Москвы. Найти длину того и другого сооружения, если длина газопровода в 6,25 раза больше длины канала имени Москвы.
2) Длина реки Дона в 3,934 раза больше длины реки Москвы. Найти длину каждой реки, если длина реки Дона больше длины реки Москвы на 1 467 км.
812. 1) Разность двух чисел 5,2, а частное от деления одного числа на другое 5. Найти эти числа.
2) Разность двух чисел 0,96, а их частное 1,2. Найти эти числа.
813. 1) Одно число на 0,3 меньше другого и составляет 0,75 его. Найти эти числа.
2) Одно число на 3,9 больше другого числа. Если меньшее число увеличить в 2 раза, то оно составит 0,5 от большего. Найти эти числа.
814. 1) Колхоз засеял пшеницей и рожью 2600 га земли. Сколько гектаров земли было засеяно пшеницей и сколько рожью, если 0,8 площади, засеянной пшеницей, равны 0,5 площади, засеянной рожью?
2) Коллекция двух мальчиков вместе составляет 660 марок. Из скольких марок состоит коллекция каждого мальчика, если 0,5 числа марок первого мальчика равны 0,6 числа марок коллекции второго мальчика?
815. Два ученика вместе имели 5,4 руб. После того как первый истратил 0,75 своих денег, а второй 0,8 своих денег, у них осталось денег поровну. Сколько денег было у каждого ученика?
816. 1) Два парохода вышли навстречу друг другу из двух портов, расстояние между которыми 501,9 км. Через сколько времени они встретятся, если скорость первого парохода 25,5 км в час, а скорость второго 22,3 км в час?
2) Два поезда вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 382,2 км. Через сколько времени они встретятся, если средняя скорость первого поезда была 52,8 км в час, а второго 56,4 км в час?
817. 1) Из двух городов, расстояние между которыми 462 км, одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3,5 часа. Найти скорость каждого автомобиля, если скорость первого была на 12 км в час больше скорости второго автомобиля.
2) Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 63 км, одновременно выехали навстречу друг другу мотоциклист и велосипедист и встретились через 1,2 часа. Найти скорость мотоциклиста, если велосипедист ехал со скоростью на 27,5 км в час меньшей скорости мотоциклиста.
818. Ученик заметил, что поезд, состоящий из паровоза и 40 вагонов, проходил мимо него 35 сек. Определить скорость поезда в час, если длина паровоза 18,5 м, а длина вагона 6,2 м. (Ответ дать с точностью до 1 км в час.)
819. 1) Из А в Б выехал велосипедист со средней скоростью 12,4 км в час. Спустя 3 часа 15 мин. из Б навстречу ему выехал другой велосипедист со средней скоростью 10,8 км в час. Через сколько часов и на каком расстоянии от А они встретятся, если 0,32 расстояния между А и Б равны 76 км?
2) Из городов А и Б, расстояние между которыми 164,7 км, выехали навстречу друг другу грузовая машина из города А и легковая - из города Б. Скорость грузовой машины 36 км, а легковой в 1,25 раза больше. Легковая машина вышла на 1,2 часа позже грузовой. Через сколько времени и на каком расстоянии от города Б легковая машина встретит грузовую?
820. Два парохода вышли одновременно из одного порта и идут в одном направлении. Первый пароход в каждые 1,5 часа проходит 37,5 км, а второй в каждые 2 часа проходит 45 км. Через сколько времени первый пароход будет находиться от второго на расстоянии 10 км?
821. Из одного пункта вначале вышел пешеход, а через 1,5 часа после его выхода выехал в том же направлении велосипедист. На каком расстоянии от пункта велосипедист догнал пешехода, если пешеход шёл со скоростью 4,25 км в час, а велосипедист ехал со скоростью 17 км в час?
822. Поезд вышел из Москвы в Ленинград в 6 час. 10 мин. утра и шёл со средней скоростью 50 км п час. Позднее из Москвы в Ленинград вылетел пассажирский самолет и прилетел в Ленинград одновременно с прибытием поезда. Средняя скорость самолёта была 325 км в час, а расстояние между Москвой и Ленинградом 650 км. Когда самолёт вылетел из Москвы?
823. Пароход по течению реки шёл 5 час, а против течения 3 часа и прошёл всего 165 км. Сколько километров он прошёл по течению и сколько против течении, если скорость течения реки 2,5 км в час?
824. Поезд вышел из А и должен прибыть в Б в определённое время; пройдя половину пути и делая по 0,8 км в 1 мин., поезд был остановлен на 0,25 часа; увеличив далее скорость на 100 м в 1 млн., поезд прибыл в Б вовремя. Найти расстояние между А и Б.
825. От колхоза до города 23 км. Из города в колхоз выехал на велосипеде почтальон со скоростью 12,5 км в час. Через 0,4 часа после этого ИВ колхоза в город выехал на лошади колхозник со скоростью, ранной 0,6 скорости почтальона. Через сколько времени после своего выезда колхозник встретит почтальона?
826. Из города А в город Б, отстоящий от А на 234 км, выехал автомобиль со скоростью 32 км в час. Через 1,75 часа после этого из города Б выехал навстречу первому второй автомобиль, скорость которого в 1,225 раза больше скорости первого. Через сколько часов после своего выезда второй автомобиль встретит первы
827. 1) Одна машинистка может перепечатать рукопись за 1,6 часа, а другая за 2,5 часа. За сколько времени обе машинистки перепечатают эту рукопись, работая совместно? (Ответ округлить с точностью до 0,1 часа.)
2) Бассейн наполняется двумя насосами различной мощности. Первый насос, работая один, может наполнить бассейн за 3,2 часа, а второй за 4 часа. За сколько времени наполнится бассейн при одновременной работе этих насосов? (Ответ округлить с точностью до 0,1.)
828. 1) Одна бригада может выполнить некоторый заказ за 8 дней. Другой на выполнение этого заказа требуется 0,5 времени первой. Третья бригада может выполнить этот заказ за 5 дней. За сколько дней будет выполнен весь заказ при совместной работе трёх бригад? (Ответ округлить с точностью до 0,1 дня.)
2) Первый рабочий может выполнить заказ за 4 часа, второй в 1,25 раза быстрее, а третий за 5 час. За сколько часов будет выполнен заказ при совместной работе трёх рабочих? (Ответ округлить с точностью до 0,1 часа.)
829. На уборке улицы работают две машины. Первая из них может убрать всю улицу за 40 мин., второй для этого требуется 75% времени первой. Обе машины начали работу одновременно. После совместной рвботы в течение 0,25 часа вторая машина прекратила работу. Во сколько времени после этого первая машина закончила работу по уборке улицы?
830. 1) Одна из сторон треугольника 2,25 см, вторая на 3,5 см больше первой, а третья на 1,25 см меньше второй. Найти периметр треугольника.
2) Одна из сторон треугольника 4,5 см, вторая на 1,4 см меньше первой, а третья сторона равна полусумме двух первых сторон. Чему равен периметр треугольника?
831 . 1) Основание треугольника 4,5 см, а высота его на 1,5 см меньше. Найти площадь треугольника.
2) Высота треугольника 4,25 см, а его основание в 3 раза больше. Найти площадь треугольника. (Ответ округлить с точностью до 0,1.)
832. Найти площади заштрихованных фигур (рис. 38).
833. Какая площадь больше: прямоугольника со сторонами 5 см и 4 см, квадрата со стороной 4,5 см или треугольника, основание и высота которого равны по 6 см?
834. Комната имеет длину 8,5 м, ширину 5,6 м и высоту 2,75 м. Площадь окон, дверей и печей составляет 0,1 общей площади стен комнаты. Сколько кусков обоев понадобится для оклеивания этой комнаты, если кусок обоев имеет длину 7 м и ширину 0,75 м? (Ответ округлить с точностью до 1 куска.)
835. Надо снаружи оштукатурить и побелить одноэтажный дом, размеры которого: длина 12 м, ширина 8 м и высота 4,5 м. В доме 7 окон размером каждое 0,75 м х 1,2 м и 2 двери каждая размером 0,75 м х 2,5 м. Сколько будет стоить вся работа, если побелка и штукатурка 1 кв. м стоит 24 коп.? (Ответ округлить а точностью до 1 руб.)
836. Вычислите поверхность и объём вашей комнаты. Размеры комнаты найдите измерением.
837. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 32 м, ширина 10 м. 0,05 всей площади огорода засеяно морковью, а остальная часть огорода засажена картофелем и луком, причём картофелем засажена площадь в 7 paз большая, чем луком. Сколько земли в отдельности засажено картофелем, луком и морковью?
838. Огород имеет форму прямоугольника, длина которого 30 м и ширина 12 м. 0,65 всей площади огорода засажено картофелем, а остальная часть - морковью и свёклой, причём свёклой засажено на 84 кв. м больше, чем морковью. Сколько земли в отдельности под картофелем, свёклой и морковью?
839. 1) Ящик, имеющий форму куба, обшили со всех сторон фанерой. Сколько фанеры израсходовано, если ребро куба 8,2 дм? (Ответ округлить с точностью до 0,1 кв. дм.)
2) Сколько краски потребуется для окраски куба с ребром в 28 см, если на 1 кв. см будет истрачено 0,4 г краски? (Ответ, округлить с точностью до 0,1 кг.)
840. Длина чугунной заготовки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равна 24,5 см, ширина 4,2 см и высота 3,8 см. Сколько весят 200 чугунных заготовок, если 1 куб. дм чугуна весит 7,8 кг? (Ответ округлить с точностью до 1 кг.)
841. 1) Длина ящика (с крышкой), имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 62,4 см, ширина 40,5 см, высота 30 см. Сколько квадратных метров досок пошло на изготовление ящика, если отходы досок составляют 0,2 поверхности, которая должна быть обшита досками? (Ответ округлить с точностью до 0,1 кв. м.)
2) Дно и боковые стенки ямы, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, должны быть обшиты досками. Длина ямы 72,5 м, ширина 4,6 м и высота 2,2 м. Сколько квадратных метров досок пошло на обшивку, если отходы досок составляют 0,2 поверхности, которая должна быть обшита досками? (Ответ округлить с точностью до 1 кв. м.)
842. 1) Длина подвала, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 20,5 м, ширина 0,6 его длины, а высота 3,2 м. Подвал заполнили картофелем на 0,8 его объёма. Сколько тонн картофеля поместилось в подвале, если 1 куб.м картофеля весит 1,5 т? (Ответ округлить с точностью до 1 т.)
2) Длина бака, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равна 2,5 м, ширина 0,4 его длины, а высота 1,4 м. Бак наполнен керосином на 0,6 его объёма. Сколько тонн керосина налито в бак, если вес керосина в объёме 1 куб. м равен 0,9 т? (Ответ округлить с точностью до 0,1 т.)
843. 1) Во сколько времени можно обновить воздух в комнате, имеющей 8,5 м длины, 6 м ширины и 3,2 м высоты, если через форточку в 1 сек. проходит 0,1 куб. м воздуха?
2) Произведите подсчёт времени, необходимого для обновления воздуха в вашей комнате.
844. Размеры бетонного блока для постройки стен следующие: 2,7 м х 1,4 м х 0,5 м. Пустота составляет 30% объёма блока. Сколько кубометров бетона потребуется на изготовление 100 таких блоков?
845. Грейдер-элеватор (машина для рытья канав) за 8 час. работы делает канаву шириной 30 см, глубиной 34 см и длиной 15 км. Скольких землекопов заменяет такая машина, если один землекоп может вынуть 0,8 куб. м в час? (Результат округлить.)
846. Закром в форме прямоугольного параллелепипеда имеет в длину 12 м и в ширину 8 ж. В этом закроме насыпано зерно до высоты 1,5 м. Для того чтобы узнать, сколько весит всё зерно, взяли ящик длиной 0,5 м, шириной 0,5 м и высотой 0,4 м, наполнили его зерном и взвесили. Сколько весило зерно в закроме, если зерно в ящике весило 80 кг?
849. Построить линейную диаграмму роста городского населения в СССР, если в 1913 г. городского населения было 28,1 млн человек, в 1926 г.-24,7 млн., в 1939 г.-56,1 млн. и в 1959г- 99,8 млн. человек.
850. 1) Составить смету на ремонт помещения вашего класса, если требуется побелить стены и потолок, а также покрасить пол. Данные для составления сметы (размеры класса, стоимость побелки 1 кв. м, стоимость покраски пола 1 кв. м) выяснить у завхоза школы.
2) Для посадки в саду школа купила саженцы: 30 яблонь по 0,65 руб. за штуку, 50 вишен по 0,4 руб. за штуку, 40 кустов крыжовника по 0,2 руб. и 100 кустов малины по 0,03 руб. за куст. Напишите счёт на эту покупку по образцу:
ОТВЕТЫ
В математике различные типы чисел изучаются с самого своего зарождения. Существует большое количество множеств и подмножеств чисел. Среди них выделяют целые числа, рациональные, иррациональные, натуральные, четные, нечетные, комплексные и дробные. Сегодня разберем информацию о последнем множестве - дробных числах.
Определение дробей
Дроби - это числа, состоящие из целой части и долей единицы. Также, как и целых чисел, существует бесконечное множество дробных, между двумя целыми. В математике действия с дробями выполняются, так как с целыми и натуральными числами. Это довольно просто и научиться этому можно за пару занятий.
В статье представлено два вида
Обыкновенные дроби
Обыкновенные дроби представляют собой целую часть a и два числа записанных через дробную черту b/c. Обыкновенные дроби могут быть крайне удобны, если дробную часть нельзя представить в рациональном десятичном виде. Кроме того, арифметические операции удобнее производить через дробную черту. Верхняя часть называется числитель, нижняя - знаменатель.
Действия с обыкновенными дробями: примеры
Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не являющееся нулем, в результате получается число равное данному. Это свойство дроби отлично помогает привести знаменатель для сложения (об этом будет рассказано ниже) или сократить дробь, сделать ее удобнее для счета. a/b = a*c/b*c. К примеру, 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26
Приведение к общему знаменателю. Чтобы привести знаменатель дроби необходимо представить знаменатель в виде множителей, а затем помножить на недостающие числа. Например, 7/15 и 12/30; 7/5*3 и 12/5*3*2. Видим, что знаменатели отличаются двойкой, поэтому умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получаем: 14/30 и 12/30.
Составные дроби - обыкновенные дроби с выделенной целой частью. (A b/c) Чтобы представить составную дробь в виде обыкновенной, необходимо умножить число, стоящее перед дробью на знаменатель, а затем сложить с числителем: (A*c + b)/c.
Арифметические действия с дробями
Не лишним будет рассмотреть известные арифметические действия только при работе с дробными числами.
Сложение и вычитание. Складывать и вычитать обыкновенные дроби точно так же легко, как и целые числа, за исключением одной трудности - наличия дробной черты. Складывая дроби с одинаковым знаменателем, необходимо сложить лишь числители обеих дробей, знаменатели остаются без изменения. Например: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Если же знаменатели двух дробей представляют собой разные числа сначала нужно привести их к общему (как это сделать было рассмотрено выше). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Вычитание происходит по точно такому же принципу: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.
Умножение и деление. Действия с дробями по умножению происходят по следующему принципу: отдельно перемножаются числители и знаменатели. В общем виде формула умножения выглядит так: a/b *c/d = a*c/b*d. Кроме того, по мере умножения можно сократить дробь, исключая одинаковые множители из числителя и знаменателя. Выражаясь другим языком, числитель и знаменатель делится на одно и то же число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Для деления одной обыкновенной дроби на другую, нужно поменять числитель и знаменатель делителя и выполнить умножение двух дробей, по принципу, рассмотренному ранее: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5
Десятичные дроби
Десятичные дроби являются более популярной и часто используемой версией дробных чисел. Их проще записать в строчку или представить на компьютере. Структура десятичной дроби такая: сначала записывается целое число, а затем, после запятой, записывается дробная часть. По своей сути десятичные дроби - это составные обыкновенные дроби, однако их дробная часть представлена числом, деленным на кратное цифре 10. Отсюда и произошло их название. Действия с дробями десятичными аналогичны действиям с целыми числами, так как они так же записаны в десятичной системе счисления. Также в отличие от обыкновенных дробей, десятичные могут быть иррациональными. Это значит, что они могут быть бесконечны. Записываются они так 7,(3). Читается такая запись: семь целых, три десятых в периоде.
Основные действия с десятичными числами
Сложение и вычитание десятичных дробей. Выполнить действия с дробями не сложнее, чем с целыми натуральными числами. Правила абсолютно аналогичны с теми, что используют при сложении или вычитании натуральных чисел. Их точно так же можно считать столбиком, однако при необходимости заменять недостающие места нулями. Например: 5,5697 - 1,12. Для того чтобы выполнить вычитание столбиком нужно уравнять количество чисел после запятой: (5,5697 - 1,1200). Так, числовое значение не измениться и можно будет считать в столбик.
Действия с десятичными дробями нельзя производить, если одно из них имеет иррациональный вид. Для этого нужно перевести оба числа в обыкновенные дроби, а затем пользоваться приемами, описанными ранее.
Умножение и деление. Умножение десятичных дробей аналогично умножению натуральных. Их также можно умножать столбиком, просто, не обращая внимания на запятую, а затем отделить запятой в итоговом значении такое же количество знаков, сколько в сумме после запятой было в двух десятичных дробях. К примеру, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все очень просто, и не должно вызвать затруднений, если вы уже овладели умножением натуральных чисел.
Деление также совпадает с делением натуральных чисел, но с небольшим отступлением. Чтобы разделить на десятичное число столбиком необходимо отбросить запятую в делителе, и умножить делимое на число знаков, стоявших после запятой в делителе. После чего выполнять деление как с натуральными числами. При неполном делении можно добавлять нули к делимому справа, также прибавляя ноль в ответ после запятой.
Примеры действий с десятичными дробями. Десятичные дроби - очень удобный инструмент для арифметического счета. Они сочетают в себе удобство натуральных, целых чисел и точность обыкновенных дробей. К тому же довольно просто перевести одни дроби в другие. Действия с дробями не отличаются от действий с натуральными числами.
- Сложение: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Вычитание: 3,1 - 1,6 = 1,5
- Умножение: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Деление: 3,6: 0,6 = 6
Кроме того, десятичные дроби подходят для представления процентов. Так, 100 % = 1; 60 % = 0,6; и наоборот: 0,659 = 65,9 %.
Вот и все, что нужно знать о дробях. В статье было рассмотрено два вида дробей - обыкновенные и десятичные. Оба довольно простые в вычислении, и если вы полностью овладели натуральными числами и действиями с ними, можете смело приступать к изучению дробных.
Десятичные дроби - это те же самые обыкновенные дроби, но в так называемой десятичной записи. Десятичная запись используется для дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. При этом вместо дробей 1/10; 1/100; 1/1000; ... пишут 0,1; 0,01; 0,001;... .
К примеру, 0,7 (ноль целых семь десятых ) - это дробь 7/10; 5,43 (пять целых сорок три сотых ) - это смешанная дробь 5 43/100 (или, что то же самое, неправильная дробь 543/100).
Может случиться так, что сразу после запятой стоит один или несколько нулей: 1,03 - это дробь 1 3/100; 17,0087 - это дробь 17 87/10000. Общее правило таково: в знаменателе обыкновенной дроби должно быть столько нулей, сколько цифр стоит после запятой в записи десятичной дроби .
Десятичная дробь может оканчиваться на один или несколько нулей. Оказывается, эти нули «лишние» - их можно попросту убрать: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3,000 = 3. Сообрази, почему это так?
Десятичные дроби естественным образом возникают при делении на «круглые» числа - 10, 100, 1000, ... Обязательно разберись в следующих примерах:
27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;
579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;
33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;
34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;
6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.
Замечаешь ли ты здесь некую закономерность? Попробуй ее сформулировать. А что будет, если умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000?
Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно привести ее к какому-нибудь «круглому» знаменателю:
2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 и т. д.
Складывать десятичные дроби намного удобнее, чем дроби обыкновенные. Сложение производится так же, как и с обычными числами - по соответствующим разрядам. При сложении в столбик слагаемые нужно записывать так, чтобы их запятые находились на одной вертикали. На этой же вертикали окажется и запятая суммы. Совершенно аналогично выполняется и вычитание десятичных дробей.
Если при сложении или вычитании в одной из дробей количество цифр после запятой меньше, чем в другой, то в конце данной дроби следует дописать нужное число нулей. Можно эти нули и не дописывать, а просто представить их себе в уме.
При умножении десятичных дробей их опять-таки следует перемножить как обычные числа (при этом уже не обязательно записывать запятую под запятой). В полученном результате нужно отделить запятой количество знаков, равное суммарному числу знаков после запятой в обоих множителях.
При делении десятичных дробей можно в делимом и делителе одновременно передвинуть запятую вправо на одно и то же количество знаков: частное от этого не изменится:
2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;
4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;
6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.
Объясни, почему это так?
- Нарисуй квадрат 10x10. Закрась какую-нибудь его часть, равную: а) 0,02; б) 0,7; в) 0,57; г) 0,91; д) 0,135 площади всего квадрата.
- Что такое 2,43 квадрата? Изобрази на рисунке.
- Раздели на 10 числа 37; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 и результат запиши в виде десятичной дроби. Эти же числа раздели на 100 и на 1000.
- Умножь на 10 числа 4,6; 6,52; 23,095; 0,01999. Эти же числа умножь на 100 и на 1000.
- Представь десятичную дробь в виде обыкновенной дроби и сократи ее:
а) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
б) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
в) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
г) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848. - Представь в виде смешанной дроби: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
- Представь обыкновенную дробь в виде десятичной дроби:
а) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
б) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
в) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
г) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000. - Найди сумму: а) 7,3+12,8; б) 65,14+49,76; в) 3,762+12,85; г) 85,4+129,756; д) 1,44+2,56.
- Представь единицу в виде суммы двух десятичных дробей. Найди еще двадцать способов такого представления.
- Найди разность: а) 13,4–8,7; б) 74,52–27,04; в) 49,736–43,45; г) 127,24–93,883; д) 67–52,07; е) 35,24–34,9975.
- Найди произведение: а) 7,6·3,8; б) 4,8·12,5; в) 2,39·7,4; г) 3,74·9,65.
