Matematické očekávání a disperze náhodné veličiny. Matematické očekávání je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny
Matematické očekávání (průměrná hodnota) náhodné veličiny X dané na diskrétním pravděpodobnostním prostoru je číslo m =M[X]=∑x i p i, pokud řada konverguje absolutně.
Účel služby. Použití online služby jsou vypočteny očekávaná hodnota, rozptyl a směrodatná odchylka(viz příklad). Kromě toho je vykreslen graf distribuční funkce F(X).
Vlastnosti matematického očekávání náhodné veličiny
- Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná sobě samému: M[C]=C, C – konstanta;
- M=C M[X]
- Matematické očekávání součtu náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání: M=M[X]+M[Y]
- Matematické očekávání součinu nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání: M=M[X] M[Y] , jestliže X a Y jsou nezávislé.
Disperzní vlastnosti
- Rozptyl konstantní hodnoty je nulový: D(c)=0.
- Konstantní faktor lze vyjmout zpod znaménka disperze jeho umocněním: D(k*X)= k 2 D(X).
- Pokud jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak se rozptyl součtu rovná součtu rozptylů: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Pokud jsou náhodné proměnné X a Y závislé: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Pro disperzi platí následující výpočetní vzorec:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2
Příklad. Matematická očekávání a rozptyly dvou nezávislých náhodných veličin X a Y jsou známé: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Najděte matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny Z=9X-8Y+7.
Řešení. Na základě vlastností matematického očekávání: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na základě vlastností disperze: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmus pro výpočet matematického očekávání
Vlastnosti diskrétních náhodných proměnných: všechny jejich hodnoty lze přečíslovat přirozená čísla; Přiřaďte každé hodnotě nenulovou pravděpodobnost.- Dvojice po jedné násobíme: x i x p i .
- Sečtěte součin každého páru x i p i .
Například pro n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Příklad č. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematické očekávání najdeme pomocí vzorce m = ∑x i p i .
Očekávání M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Rozptyl zjistíme pomocí vzorce d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Směrodatná odchylka σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Příklad č. 2. Diskrétní náhodná veličina má následující distribuční řady:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2A | 0,41 | 0,03 |
Řešení. Hodnotu a zjistíme ze vztahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 nebo 0,24 = 3 a , odkud a = 0,08
Příklad č. 3. Určete distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny, pokud je znám její rozptyl a x 1
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
d(x)=12,96
Řešení.
Zde musíte vytvořit vzorec pro nalezení rozptylu d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kde očekávání m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pro naše data
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
nebo -9/100 (x 2 -20x+96)=0
V souladu s tím musíme najít kořeny rovnice a budou dva.
x3=8, x3=12
Vyberte ten, který splňuje podmínku x 1
Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
Disperze spojitá náhodná veličina X, jejíž možné hodnoty patří do celé osy Ox, je určena rovností: 
Účel služby. Online kalkulačka je určena k řešení problémů, ve kterých buď hustota distribuce f(x) nebo distribuční funkce F(x) (viz příklad). Obvykle v takových úkolech musíte najít matematické očekávání, směrodatná odchylka, grafy funkcí f(x) a F(x).
Instrukce. Vyberte typ zdrojových dat: distribuční hustotu f(x) nebo distribuční funkci F(x).
Distribuční hustota f(x) je dána: 
Distribuční funkce F(x) je dána: 
Spojitá náhodná veličina je specifikována hustotou pravděpodobnosti 
(Rayleighův distribuční zákon – používá se v radiotechnice). Najděte M(x) , D(x) .
Náhodná veličina X se nazývá kontinuální
, pokud její distribuční funkce F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Distribuční funkce spojité náhodné veličiny se používá k výpočtu pravděpodobnosti náhodné veličiny spadající do daného intervalu:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Navíc pro spojitou náhodnou veličinu nezáleží na tom, zda jsou její hranice zahrnuty v tomto intervalu nebo ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Hustota distribuce
spojitá náhodná veličina se nazývá funkce
f(x)=F’(x) , derivace distribuční funkce.
Vlastnosti distribuční hustoty
1. Hustota rozdělení náhodné veličiny je nezáporná (f(x) ≥ 0) pro všechny hodnoty x.2. Normalizační podmínka:
Geometrický význam podmínky normalizace: plocha pod křivkou hustoty distribuce je rovna jednotce.
3. Pravděpodobnost náhodné veličiny X spadající do intervalu od α do β lze vypočítat pomocí vzorce
Geometricky je pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina X spadne do intervalu (α, β) rovna ploše křivočarého lichoběžníku pod křivkou hustoty distribuce na základě tohoto intervalu.
4. Distribuční funkce je vyjádřena pomocí hustoty takto:
Hodnota hustoty rozdělení v bodě x není rovna pravděpodobnosti přijetí této hodnoty pro spojitou náhodnou veličinu můžeme mluvit pouze o pravděpodobnosti pádu do daného intervalu. Nechat)
