Koule vepsaná do hranolu. Kombinace koule s mnohostěny. Koule vepsaná do hranolu Koule a pravý hranol

04.02.2022

Řešení úloh na kuželu vepsaném do koule (kuželu vepsaném do koule) se redukuje na uvažování jednoho nebo více trojúhelníků.

Kužel je vepsán do koule, pokud jeho vrchol a obvod základny leží na povrchu koule, tedy na kouli. Střed koule leží na ose kužele.

Při řešení úloh na kuželu vepsaném do koule je vhodné uvažovat řez kombinací těles rovinou procházející osou kužele a středem koule. Řez je velká kružnice koule (tj. kružnice, jejíž poloměr se rovná poloměru koule) s vepsaným rovnoramenným trojúhelníkem - osovým řezem kužele. Strany tohoto trojúhelníku jsou tvořící přímky kužele, základna je průměr kužele.

Pokud je úhel mezi generátory ostrý, leží střed opsané kružnice uvnitř trojúhelníku (respektive střed koule opsané poblíž kužele je uvnitř kužele).

Pokud je úhel mezi generátory přímka, leží střed kruhu uprostřed základny trojúhelníku (střed koule se shoduje se středem základny kužele).

Pokud je úhel mezi generátory tupý, leží střed kružnice mimo trojúhelník (střed opsané koule je mimo kužel).

Pokud stav problému neříká, kde přesně leží střed popisované kuličky, je vhodné zvážit, jak mohou různé možnosti jejího umístění ovlivnit řešení.

Uvažujme kužel a kouli, která je kolem něj opsána rovinou procházející osou kužele a středem koule. Zde SO=H je výška kužele, SB=l je tvořící čára kužele, SO1=O1B=R je poloměr koule, OB=r je poloměr základny kužele, ∠OSB=α je úhel mezi výškou a tvořící přímkou kužele.

Trojúhelník SO1B je rovnoramenný se základnou SB (protože SO1=O1B=R). To znamená, že jeho základní úhly jsou stejné: ∠OSB=∠O1BS=α, a O1F je medián, výška a osa. Proto SF=l/2.

Při řešení úloh na kuželu vepsaném do koule lze uvažovat pravoúhlé trojúhelníky SFO1 a SOB. Jsou si podobné (podle ostrého úhlu S). Z podobnosti trojúhelníků

V pravoúhlém trojúhelníku SOB ∠OBS=90º - ∠OSB=90º-α. Podle Pythagorovy věty

V pravoúhlém trojúhelníku O1OB ∠OBO1=90º - ∠O1BS=90º - α - α=90º - 2α.

Střed vepsané koule je průsečíkem rovin osy konstruovaných pro všechny dihedrální úhly přítomné v pyramidě; jestliže tyto osové roviny nemají společný bod, pak kouli nelze vepsat.

Zvláštní případ: boční strany pyramidy jsou stejně nakloněny k rovině základny. Pak:

do míče lze vstoupit;

střed O koule leží ve výšce jehlanu, přesněji řečeno, je to průsečík výšky s osou úhlu mezi apotémou a průmětem této apotémy na základní rovinu.

6.2. Koule a rovný hranol

Koule může být vepsána do pravého hranolu tehdy a pouze tehdy, když:

Do základny hranolu lze vepsat kruh

průměr tohoto kruhu se rovná výšce hranolu.

Střed koule je středem segmentu spojujícího středy kruhů vepsaných do základen.

kde je poloměr vepsané koule; je poloměr kružnice vepsané do základny; H je výška hranolu.

6.3. koule a válec

Koule může být vepsána do válce právě tehdy, když je osový řez válce čtvercový (takový válec se někdy nazývá rovnostranný válec). Střed koule je středem symetrie osového řezu válce.

6.4. koule a kužel

Koule může být vždy vepsána do kužele. Střed koule je středem kružnice vepsané v osovém řezu kužele.

6.5. Koule a komolý kužel

Koule může být vepsána do komolého kužele tehdy a jen tehdy

Zkušenosti na střední škole ukázaly nedostatečnost všestrannosti úloh z geometrie a výsledkem řešení tohoto problému byla problémová kniha z geometrie (asi 4000 úloh), ve které je 24 kapitol. Účelem tohoto článku je jedna z kapitol knihy: „Napsáno a popsáno míč" .

Sestavit vícerozměrné úlohy při studiu tématu „Napsáno a popsáno míč" úkoly se řeší obecně:

1. Míč je vepsán do pravidelné pyramidy – jsou zvažovány R míč , r je poloměr kružnice vepsané do základny pyramidy, r sec - poloměr kruhu kontaktu s boční plochou jehlanu a koule, h - výška pyramidy, h1 - apotéma s- délka boční hrany, a - úhel mezi boční plochou a rovinou základny jehlanu - vezmeme-li v úvahu, když jsou známy dvě veličiny, zbytek se najde - zvažuje se celkem 15 možností:

(r, R w), (r, h 1), (r, h), (r, a), (r, r sec), (R w, h 1), (R w, h), (R w, a), (h 1, h), (h 1, a), (h 1, r sec), (h, a), (h, r sec), (a, r sec).

2. Koule je vepsána do pyramidy, jejíž boční strany jsou stejně nakloněny k rovině základny pyramidy - možnosti jsou zvažovány, když je základna trojúhelník, kosočtverec, lichoběžník - v těchto případech je uvedena tabulka konkrétních údajů.

3. Koule je opsána poblíž pravidelné pyramidy - jsou zvažovány R koule je poloměr koule, R popis prostředí - poloměr kružnice opsané poblíž základny, h1 - apotém boční stěny pravidelné pyramidy, h - výška pyramidy; s je délka bočního žebra; a je úhel mezi boční plochou a základní rovinou jehlanu, b je úhel mezi boční hranou a základní rovinou.

4. Koule je popsána v blízkosti jehlanu, jehož boční hrany jsou stejné nebo stejně skloněné k základní rovině - datová tabulka je uvedena na R míč , R - poloměr kružnice opsané poblíž základny pyramidy, h - výška pyramidy, h1 - apotéma, a - úhel mezi boční hranou a rovinou podstavy jehlanu.

5. Koule je vepsána do kužele - jsou uvažovány R míč , R con je poloměr základny kužele, r sec - poloměr kruhu kontaktu s boční plochou jehlanu a koule, h - výška kužele, l je tvořící přímka kužele, a je úhel mezi tvořící přímkou a rovinou základny kužele - vezmeme-li v úvahu, když jsou známé dvě veličiny, zbytek se najde - celkem se uvažuje 15 možností - ( R end, R ball), (R end, a), (R end, l), (R end, h), (R end, r sec), (R end, a), (R end, l), (R ball, h), (R ball, r sec), (l, a), (h, a), (r sec, a), (l, h), (l, r sec), (h, r sec).

6. Kužel je vepsán do koule - považováno R míč , R con je poloměr základny kužele, d je vzdálenost od středu koule k rovině základny kužele, h - výška kužele, l je tvořící přímka kužele, a je úhel mezi tvořící přímkou a rovinou základny kužele - vezmeme-li v úvahu, když jsou známy dvě veličiny, zbytek se najde - celkem se uvažují dvojice ( R con, R ball), (R con, a), (R con, l), (R con, h), (R con, d, poloha středu koule vzhledem ke kuželu), (R ball , a), (R ball, l), (R ball, h), (R ball, d), (l, a), (h, a), (d, a), (l, h), ( l, d), (h, d).

7. Koule je vepsána do komolého kužele - uvažováno R míč , R, r jsou poloměry spodní a větší základny komolého kužele, l - tvořící přímku kužele, a - úhel mezi tvořící přímkou a rovinou základny kužele, r sec - poloměr kruhu kontaktu s boční plochou kužele a koule; vezmeme-li v úvahu, když jsou známé dvě veličiny, zbytek se najde - celkem se uvažují dvojice - (r, R), (R ball, R), (R, l), (r sec, R), (R, a), (R ball, l), (R ball, l), (R ball, r sec), (R koule, a), (l, r sec), (l, a), (r sec, a) ; byla sestavena tabulka konkrétních číselných údajů, ve kterých je poloměr koule, poloměry základen, generátor, sinus úhlu mezi tvořící přímkou a rovinou základny, povrch a objem koule a komolý kužel se účastní.

8. Koule je popsána v blízkosti komolého kužele - jsou uvažovány R koule , R, r jsou poloměry spodní a větší základny komolého kužele, l je tvořící přímka kužele, a je úhel mezi tvořící přímkou a rovinou podstavy kužele, v některých úlohách se zavádí poloha středu koule vůči kuželu; vezmeme-li v úvahu, když jsou známa tři množství, zbytek se najde - celkem se uvažují trojnásobky - (r,R,h), (R, r, a), (r, R, l), (r, R, R koule, středová poloha koule), (h, R, R koule, středová poloha koule) , (l, R, R koule, poloha středu koule), (a , R, R koule, poloha středu koule), (h, R, l), (a, R, h), (a, R, l), (l, h, R míč), (a, h, R míč), (a, l, R sf ).

Na základě získaných tabulek byla sestavena jedna z kapitol učebnice geometrie, která se nazývá: Kapitola 24 Kapitola se skládá z odstavců, které mají zase pododstavce.

24.1. Ve válci je vepsána koule

24.1.02. Koule je vepsána do válce. Najděte poměr objemů válce a koule.

24.1.03. Koule je vepsána do válce. Najděte poměr celkového povrchu válce a povrchu koule.

24.2. Koule opsaná kolem válce

24.2.01. V objemu koule V míč je vepsán válec, jehož tvořící čára je viditelná ze středu koule pod úhlem a. Najděte objem válce.

24.2.03. Kolem objemu válce PROTI míč je popsán. Najděte závislost poloměru koule na výšce válce a výšce válce, při které bude povrch koule nejmenší.

24.3. Koule a válec

24.3.01. Kovový válec s průměrem základny D cyl a výška h cyl roztavený do koule. Vypočítejte poloměr této koule.

24.3.03. do válcové nádoby, jejíž základna je poloměr R cyl, koule s poloměrem R míč. Voda se nalévá do nádoby tak, aby se její volná hladina dotýkala povrchu koule (koule neplavala). Určete tloušťku vrstvy vody, která vznikne, pokud se kulička vyjme z nádoby.

24.4. Kužel je vepsán do kužele

24.4.01. Koule je vepsána do kužele, jehož osový řez je rovnostranný trojúhelník. Najděte poloměr koule, pokud je poloměr základny kužele R con

24.4.05. V kuželu, jehož osový řez je rovnostranný trojúhelník, je vepsána koule, jejíž objem je V míč. Najděte výšku kužele, pokud:

24.4.07. Koule je vepsána do kužele, jehož osový řez je rovnostranný trojúhelník. Najděte objem kužele, pokud je objem koule V w.

24.4.09 V přímém kruhovém kuželu s poloměrem základny R con vepsaná koule poloměru R míč. Vypočítejte objem kužele.

24.4.14. V kuželovém objemu PROTI kulička je vložena. Najděte poloměr dotykové kružnice mezi kulovou a kuželovou plochou, pokud je poloměr základny kužele roven R con.

24.4.16. Koule je vepsána do kužele. Plocha povrchu koule souvisí s plochou základny kužele, as m:n. Najděte úhel ve vrcholu kužele.

24.4.24. Plocha základny kužele S hlavní. Oblast bočního povrchu kužele S strana. Najděte poloměr koule vepsané do kužele.

24.4.25. Plocha základny kužele je S hlavní a jeho celková plocha je S plný. Najděte poloměr koule vepsané do kužele.

24.4.28. Koule je vepsána do kužele. Najděte poloměr dotykové kružnice mezi kulovou a kuželovou plochou, pokud je poloměr základny kužele roven R con, tvarování - l.

24.4.34. O poloměru koule R míč popisuje kužel, jehož výška h. Najděte poloměr základny kužele a poloměr dotykové kružnice mezi kulovou a kuželovou plochou.

24.4.38. Koule je vepsána do kužele. Poloměr kružnice, ve které se kužel a kulička dotýkají, je roven r sec. Najděte objem kužele, pokud je poloměr koule R míč.

24.4.43. Generátor pravého kužele je roven l con, poloměr styčné kružnice mezi kuželovou a kulovou plochou je roven r sec. Najděte plochu bočního povrchu kužele.

24.5. Koule ohraničená kolem kužele

24.5.02. Kolem kužele je popsána koule. Najděte poloměr koule, pokud je znám poloměr základny kužele - R con a úhel a mezi tvořící přímkou a rovinou základny kužele.

24.5.03. Určete poloměr koule opsané kolem kužele, jehož poloměr základny je roven R con a generátor se rovná l:

24.5.04. Určete povrch koule opsané kolem kužele, jehož základna je poloměr R con, a výška je h:

24.5.06. Kužel je vepsán do koule, jejíž objem je t násobek objemu koule. Výška kužele je h. Najděte objem koule.

24.5.07. Kužel je vepsán do koule. Najděte výšku a tvořící přímku kužele, pokud je znám poloměr základny kužele R con a vzdálenost d od středu koule k rovině základny kužele.

24.5.12. Poloměr koule R sf popsaný v blízkosti kužele. Najděte plochu bočního povrchu kužele, pokud je jeho výška rovna h:

24.5.16. Koule je opsána blízko kužele. Najděte poloměr koule, jestliže úhel mezi tvořící přímkou kužele a jeho základní rovinou je a a vzdálenost od středu koule k základní rovině je d:

24.5.17. Koule je opsána kolem kužele, jehož výška je rovna h, tvarování - l. Najděte vzdálenost od středu koule k základní rovině.

24.5.18. Koule je opsána blízko kužele. Najděte poloměr koule a základnu kužele, pokud je tvořící čára kužele l a vzdálenost od středu koule k rovině základny d a poloha středu koule vzhledem ke kuželu je známa.

24.5.19. Koule je opsána blízko kužele. Najděte poloměr základny kužele, pokud je výška kužele h a vzdálenost od středu koule k rovině základny je d.

24.6. koule a kužel

24.6.03. Těleso se skládá ze dvou kuželů, které mají společnou základnu a jsou umístěny na opačných stranách základní roviny. Najděte poloměr koule vepsané do tělesa, pokud jsou poloměry základen kuželů stejné R con a výšky h1 a h2.

24.6.04. kužel vysoký h a úhel mezi tvořící přímkou a výškou, rovný a, je rozříznut kulovou plochou se středem v horní části kužele na dvě části. Jaký by měl být poloměr této koule, aby byl kužel touto koulí rozdělen na dvě stejné části?

24.7. Koule je vepsána do komolého kužele

24.7.02. Koule je vepsána do komolého kužele, jehož základní poloměry jsou R a r. Najděte poměr plochy koule k ploše boční plochy komolého kužele.

24.7.03. V blízkosti koule je popsán komolý kužel. Najděte poloměr řezu kulovou plochou a boční plochou kužele, pokud je poloměr větší základny kužele R a generátor je l/

24.7.05. V blízkosti koule je popsán komolý kužel. Poloměr větší základny kužele R a poloměr průřezu kulové plochy a boční plochy kužele je roven r sec. Najděte poloměr koule a poloměr horní základny komolého kužele.

24.7.10. Koule, jejíž povrch je S, je vepsán do komolého kužele. Úhel mezi tvořící přímkou kužele a jeho velkou základnou je roven a. Vypočítejte boční povrch tohoto kužele.

24.7.11. V blízkosti koule je popsán komolý kužel. Tvořící čára kužele je rovna l a poloměr průřezu kulové plochy a boční plochy kužele je roven r sec. Najděte poloměr koule a poloměry základen komolého kužele.

24.8. Koule opsána poblíž komolého kužele

24.8.01. Koule je popsána poblíž komolého kužele. Najděte objem koule a odpovídající kulové úsečky ohraničené základnami kužele, pokud jsou poloměry základny kužele R a r, výška kužele - h.

24.8.04. Koule je opsána blízko komolého kužele. Najděte objem komolého kužele, pokud jsou poloměry základny kužele R a r, poloměr koule – R cph(zvažte dva případy).

24.8.06. Je známo, že střed koule opsané kolem komolého kužele se nachází mimo kužel. Najděte objem komolého kužele, pokud je poloměr větší základny kužele R, tvořící kužel l, poloměr koule – R cph.

24.8.07. Koule je opsána blízko komolého kužele. Určete polohu středu koule, je-li poloměr větší základny kužele R, tvořící kužel l, výška kužele je h.

24.8.08. Najděte poloměr koule opsané kolem komolého kužele, pokud je poloměr větší základny kužele R, tvořící kužel l, úhel mezi tvořící přímkou a rovinou základny je roven a.

24.8.09. Najděte poloměry základen komolého kužele, je-li tvořící přímka kužele l, výška h a poloměr koule opsané kolem tohoto kužele je roven R sf.

24.8.10. Najděte objem komolého kužele vepsaného do koule, jestliže tvořící čáru kužele l, úhel mezi tvořící přímkou a rovinou základny je a , poloměr koule opsané tomuto kuželu je R sf.

24.9. Koule je vepsána do pyramidy

V úkolech 24.9.01 – 24.9.19 . dva z R míč, A, s, h, h1, a , b , r sec a zbytek musíte najít (kromě rohů).

24.9.01. známý r a R míč.

24.9.02. známý r a h1.

24.9.03. známý r a h.

24.9.20. Najděte celkový povrch koule vepsané do trojúhelníkového jehlanu, jehož hrany jsou stejné A.

24.9.22. Poloměr koule R vepsané do pravidelného trojúhelníkového jehlanu. Najděte objem pyramidy, pokud je známo, že apotém je viditelný ze středu koule pod úhlem A.

24.10. Koule je popsána poblíž pyramidy

V úkolech 24.10.01 – 24.10.16 . dva z R koule, a (popisné R), s, h, h1, a , b a zbytek musíte najít (kromě rohů).

24.10.01. známý R popis prostředí a R koule.

24.10.09. známý R koule a h.

24. 10. 2014. známý h1 a b.

24. 10. 2017. O pravidelném trojbokém jehlanu s bočním okrajem s oblast je popsána. Najděte poloměr koule, pokud je strana základny A. Zjistěte polohu středu koule vzhledem k pyramidě.

24. 10. 2018. Koule je popsána poblíž pravidelné trojúhelníkové pyramidy. Najděte poloměr koule, pokud je apotém h1 a výška pyramidy je h.

24. 10. 2019. O pravidelném trojbokém jehlanu s bočním okrajem s míč je popsán. Najděte povrch koule a objem pyramidy, pokud boční hrana pyramidy svírá úhel b s rovinou základny pyramidy.

24.10.20. Najděte poloměr koule opsané kolem pravidelného trojúhelníkového jehlanu, pokud je její objem Svátek V a výšku h.

24. 10. 21. do koule, jejíž poloměr je R koule, je vepsán pravidelný trojúhelníkový jehlan. Výška pyramidy t více než na straně základny. Najděte stranu základny a objem pyramidy.

22.10.45. Poloměr koule opsané kolem pravidelného čtyřbokého jehlanu je R koule r míč. Najděte výšku, strany podstavy, boční hranu a apotému daného jehlanu.

24.10.46. Poloměr koule opsané kolem pravidelného čtyřbokého jehlanu je R koule, poloměr vepsané koule je roven r míč. Najděte výšku, hrany a objem jehlanu, úhel mezi apotémou a rovinou základny, pokud se střed koule a koule shodují.

Boční žebra jsou stejná nebo stejně nakloněná k rovině základny

24.10.48. Na základně trojúhelníkové pyramidy leží pravoúhlý trojúhelník s nohami A a v a všechna boční žebra jsou skloněna k rovině základny pod stejnými úhly. Poloměr koule opsané kolem dané pyramidy je R koule. Najděte výšku pyramidy.

24. 10. 49. Na základně pyramidy je rovnostranný trojúhelník se stranami A. Jedna z bočních ploch je stejný trojúhelník, přičemž je kolmá k rovině základny. Najděte poloměr koule opsané kolem pyramidy.

Boční žebro kolmé k základní rovině

24. 10. 53. Základna pyramidy MAVS je trojúhelník . Najděte výšku jehlanu, pokud je poloměr koule, která jehlan obklopuje R koule a jedno boční žebro kolmé k rovině základny.

24. 10. 54. Na základně pyramidy leží rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s nohou A. Jedna z bočních ploch je stejný trojúhelník, navíc je kolmá k rovině základny. Další dvě plochy jsou také pravoúhlé trojúhelníky. Najděte poloměr koule opsané kolem pyramidy.

24.10.56. Do sféry poloměru R koule je vepsán pravidelný šestiboký komolý jehlan, ve kterém rovina spodní základny prochází středem koule a boční hrana svírá s rovinou základny úhel 60°. Určete objem pyramidy

24.10.58. Základna pyramidy MABCD je lichoběžník . Zjistěte objem jehlanu, je-li poloměr koule, která jehlan obklopuje R koule a jedno boční žebro kolmé k rovině základny.

24.11. Koule a pyramida (ostatní případy)

24.11.01. Koule se dotýká dvou ploch a jedné hrany pravidelného čtyřstěnu s hranou v. Najděte poloměr míče.

24.11.02. V blízkosti koule je popsán pravidelný čtyřboký komolý jehlan, ve kterém jsou strany základen spojeny jako t:p . Určete poměr objemů jehlanu a koule.

Pro snadné zvládnutí řešení problémů pro míč vepsaný do pyramidy je užitečné analyzovat malý teoretický materiál.

Kulička je vepsána do pyramidy (nebo je do pyramidy vepsána koule), což znamená, že se koule (koule) dotýká každé strany pyramidy. Roviny obsahující plochy pyramidy jsou tečné roviny koule. Segmenty spojující střed koule s body dotyku jsou kolmé na tečné roviny. Jejich délka se rovná poloměru koule. Střed koule vepsané do jehlanu je průsečíkem osových rovin úhlů dihedrů na základně (tj. rovin rozdělujících tyto úhly na polovinu).

Nejčastěji se v úkolech bavíme o kouli vepsané do pravidelné pyramidy. Míč může být vepsán do jakékoli pravidelné pyramidy. Střed koule v tomto případě leží ve výšce pyramidy. Při řešení úlohy je vhodné nakreslit řez jehlanem a koulí rovinou procházející apotémou a výškou jehlanu.

Pokud je pyramida čtyřúhelníková nebo šestiúhelníková, je řezem rovnoramenný trojúhelník, jehož strany jsou apotémy a základna je průměr kruhu vepsaného do základny.

Je-li jehlan trojúhelníkový nebo pětiúhelníkový, stačí uvažovat pouze část tohoto řezu - pravoúhlý trojúhelník, jehož nohy mají výšku pyramidy a poloměr kružnice vepsané do základny jehlanu a přepona je apotém.

V každém případě se nakonec dostáváme k úvaze o odpovídajícím pravoúhlém trojúhelníku a dalších souvisejících trojúhelníkech.

Takže v pravoúhlém trojúhelníku SOF je rameno SO=H výška jehlanu, rameno OF=r je poloměr kružnice vepsané do základny jehlanu, přepona SF=l je apotém pyramida. O1 je střed koule a podle toho kružnice vepsaná do trojúhelníku získaného v řezu (uvažujeme jeho část). Úhel SFO je lineární úhel dihedrálního úhlu mezi rovinou základny a rovinou boční plochy SBC. Body K a O jsou tečné body, proto je O1K kolmá na SF. OO1=O1K=R - poloměr koule.