Výpočet hodnot goniometrických rovnic. Jak řešit goniometrické rovnice

13.10.2019

Vaše soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují vás kontaktovat a informovat vás o tom jedinečné nabídky, propagační akce a další akce a nadcházející události.
Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i před neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům postupy ochrany osobních údajů a zabezpečení a přísně vynucujeme postupy ochrany osobních údajů.

Koncepce řešení goniometrických rovnic.

Chcete-li vyřešit goniometrickou rovnici, převeďte ji na jednu nebo více základních goniometrických rovnic. Řešení goniometrické rovnice nakonec vede k řešení čtyř základních goniometrických rovnic.

Řešení základních goniometrických rovnic.

Existují 4 typy základních goniometrických rovnic:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Řešení základních goniometrických rovnic zahrnuje pohled na různé pozice x na jednotkové kružnici a také použití převodní tabulky (nebo kalkulačky).
Příklad 1. sin x = 0,866. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) získáte odpověď: x = π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: 2π/3. Pamatujte: všechny goniometrické funkce jsou periodické, to znamená, že jejich hodnoty se opakují. Například periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Takže odpověď je napsána takto:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Příklad 2 cos x = -1/2. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) dostanete odpověď: x = 2π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Příklad 3. tg (x - π/4) = 0.
Odpověď: x \u003d π / 4 + πn.
Příklad 4. ctg 2x = 1,732.
Odpověď: x \u003d π / 12 + πn.

Transformace používané při řešení goniometrických rovnic.

K transformaci goniometrických rovnic se používají algebraické transformace (faktorizace, redukce homogenní členové atd.) a goniometrické identity.
Příklad 5. Pomocí goniometrických identit se rovnice sin x + sin 2x + sin 3x = 0 převede na rovnici 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tedy následující základní goniometrické rovnice potřeba vyřešit: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Hledání úhlů ze známých hodnot funkcí.
- Než se naučíte řešit goniometrické rovnice, musíte se naučit, jak najít úhly ze známých hodnot funkcí. To lze provést pomocí převodní tabulky nebo kalkulačky.
- Příklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpověď x = 42,95 stupňů. Jednotková kružnice poskytne další úhly, jejichž kosinus je také roven 0,732.
Odložte roztok na jednotkovém kruhu.
- Řešení goniometrické rovnice můžete umístit na jednotkovou kružnici. Řešením goniometrické rovnice na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného mnohoúhelníku.
- Příklad: Řešení x = π/3 + πn/2 na jednotkové kružnici jsou vrcholy čtverce.
- Příklad: Řešení x = π/4 + πn/3 na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného šestiúhelníku.
Metody řešení goniometrických rovnic.
- Pokud daná goniometrická rovnice obsahuje pouze jednu goniometrickou funkci, řešte tuto rovnici jako základní goniometrickou rovnici. Pokud daná rovnice obsahuje dvě nebo více goniometrických funkcí, pak existují 2 metody řešení takové rovnice (v závislosti na možnosti její transformace).
  - Metoda 1
- Převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kde f(x), g(x), h(x) jsou základní goniometrické rovnice.
- Příklad 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Řešení. Pomocí vzorce s dvojitým úhlem sin 2x = 2*sin x*cos x nahraďte sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
- Příklad 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
- Příklad 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.
  - Metoda 2
- Danou goniometrickou rovnici převeďte na rovnici obsahující pouze jednu goniometrickou funkci. Pak nahraďte tuto goniometrickou funkci nějakou neznámou, například t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t atd.).
- Příklad 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Řešení. V této rovnici nahraďte (cos^2 x) (1 - sin^2 x) (podle identity). Transformovaná rovnice vypadá takto:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Nyní rovnice je: 5t^2 - 4t - 9 = 0. To je kvadratická rovnice, který má dva kořeny: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý kořen t2 nesplňuje rozsah funkce (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Příklad 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Řešení. Nahraďte tg x za t. Přepište původní rovnici takto: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Nyní najděte t a poté najděte x pro t = tg x.

Goniometrické rovnice- Téma není nejjednodušší. Bolestně jsou různorodé.) Například tyto:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Atd...

Ale tyto (a všechny ostatní) trigonometrické příšery mají dva společné a povinné rysy. Za prvé - nebudete tomu věřit - v rovnicích jsou goniometrické funkce.) Za druhé: všechny výrazy s x jsou v rámci těchto stejných funkcí. A jen tam! Pokud se někde objeví x mimo, Například, hřích2x + 3x = 3, toto bude rovnice smíšeného typu. Takové rovnice vyžadují individuální přístup. Zde je nebudeme uvažovat.

Ani v této lekci nebudeme řešit zlé rovnice.) Zde se budeme zabývat nejjednodušší goniometrické rovnice. Proč? Ano, protože rozhodnutí žádný goniometrické rovnice se skládají ze dvou stupňů. V první fázi je zlá rovnice různými transformacemi redukována na jednoduchou. Na druhé - tato nejjednodušší rovnice je vyřešena. Není jiná cesta.

Takže pokud máte problémy ve druhé fázi, první fáze nedává moc smysl.)

Jak vypadají elementární goniometrické rovnice?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Tady A znamená libovolné číslo. Žádný.

Mimochodem, uvnitř funkce nemusí být čisté x, ale nějaký druh výrazu, například:

cos(3x+π/3) = 1/2

atd. To komplikuje život, ale neovlivňuje způsob řešení goniometrické rovnice.

Jak řešit goniometrické rovnice?

Goniometrické rovnice lze řešit dvěma způsoby. První způsob: pomocí logiky a trigonometrické kružnice. Tuto cestu zde prozkoumáme. Druhý způsob - použití paměti a vzorců - bude zvažován v příští lekci.

První způsob je jasný, spolehlivý a těžko se na něj zapomíná.) Hodí se na řešení goniometrických rovnic, nerovnic a všelijakých záludných nestandardních příkladů. Logika je silnější než paměť!

Rovnice řešíme pomocí trigonometrické kružnice.

Zařazujeme elementární logiku a schopnost používat trigonometrický kruh. Nemůžeš!? Nicméně... V trigonometrii to budete mít těžké...) Ale to nevadí. Podívejte se na lekce "Trigonometrický kruh ...... Co to je?" a "Počítání úhlů na trigonometrické kružnici." Všechno je tam jednoduché. Na rozdíl od učebnic...)

Ach, víš!? A dokonce zvládl "Praktická práce s trigonometrickou kružnicí"!? Přijměte gratulace. Toto téma vám bude blízké a srozumitelné.) Potěší především to, že trigonometrickému kruhu je jedno, kterou rovnici řešíte. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - všechno je pro něj stejné. Princip řešení je stejný.

Vezmeme tedy libovolnou elementární goniometrickou rovnici. Alespoň toto:

cosx = 0,5

Potřebuji najít X. Pokud mluvit lidský jazyk, potřebovat najděte úhel (x), jehož kosinus je 0,5.

Jak jsme kruh používali dříve? Nakreslili jsme na něj roh. Ve stupních nebo radiánech. A hned viděl goniometrické funkce tohoto úhlu. Nyní udělejme opak. Nakreslete na kružnici kosinus rovný 0,5 a okamžitě uvidíme roh. Zbývá jen napsat odpověď.) Ano, ano!

Nakreslíme kružnici a označíme kosinus rovný 0,5. Na kosinusové ose, samozřejmě. Takhle:

Nyní nakreslíme úhel, který nám tento kosinus dává. Najeďte myší na obrázek (nebo se dotkněte obrázku na tabletu) a vidět tento stejný roh X.

Který úhel má kosinus 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Někteří lidé budou skepticky chrochtat, ano... Říkají, stálo to za to oplotit kruh, když je stejně všechno jasné... Můžete samozřejmě chrochtat...) Ale je fakt, že tohle je omyl Odpovědět. Nebo spíše neadekvátní. Znalci kruhu chápou, že stále existuje celá řada úhlů, které také dávají kosinus rovný 0,5.

Pokud otočíte pohyblivou stranu OA na plnou otáčku, bod A se vrátí do své původní polohy. Se stejným kosinusem rovným 0,5. Tito. úhel se změní 360° nebo 2π radiány a kosinus není. Nový úhel 60° + 360° = 420° bude také řešením naší rovnice, protože

Takových plných rotací je nekonečně mnoho... A všechny tyto nové úhly budou řešením naší goniometrické rovnice. A všechny je potřeba nějak zapsat. Všechno. Jinak se k rozhodnutí nepřihlíží, ano...)

Matematika to umí jednoduše a elegantně. V jedné krátké odpovědi napište nekonečná množinařešení. Takto to vypadá pro naši rovnici:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

rozluštím. Ještě pište smysluplně hezčí než hloupě kreslit nějaká tajemná písmena, že?)

π /3 je stejný úhel jako my viděl na kruhu a identifikované podle tabulky cosinus.

2π je jedna celá otáčka v radiánech.

n - jedná se o počet kompletních, tzn. Celý revoluce. Je jasné že n může být 0, ±1, ±2, ±3.... a tak dále. Co je uvedeno krátká poznámka:

n ∈ Z

n patří ( ∈ ) na množinu celých čísel ( Z ). Mimochodem, místo dopisu n lze použít písmena k, m, t atd.

Tento zápis znamená, že můžete vzít libovolné celé číslo n . Alespoň -3, alespoň 0, alespoň +55. Co chceš. Pokud toto číslo zapojíte do své odpovědi, získáte konkrétní úhel, který bude jistě řešením naší drsné rovnice.)

Nebo jinými slovy, x \u003d π / 3 je jediným kořenem nekonečné množiny. Chcete-li získat všechny ostatní kořeny, stačí přidat libovolný počet celých závitů k π / 3 ( n ) v radiánech. Tito. 2πn radián.

Všechno? Ne. Konkrétně natahuji potěšení. Abychom si to lépe zapamatovali.) Dostali jsme jen část odpovědí na naši rovnici. Tuto první část řešení napíšu takto:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne jeden kořen, je to celá řada kořenů, zapsaná ve zkratce.

Ale existují i jiné úhly, které také dávají kosinus rovný 0,5!

Vraťme se k našemu obrázku, podle kterého jsme zapsali odpověď. Tady je:

Najeďte myší na obrázek a vidět další roh, že také dává kosinus 0,5.Čemu se to podle vás rovná? Trojúhelníky jsou stejné... Ano! Rovná se úhlu X , pouze zakreslena v negativním směru. Tohle je roh -X. Ale už jsme spočítali x. π /3 nebo 60°. Proto můžeme bezpečně napsat:

x 2 \u003d - π / 3

A samozřejmě přidáme všechny úhly, které získáme plnými otáčkami:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je nyní vše.) V trigonometrickém kruhu jsme viděl(kdo tomu rozumí, samozřejmě)) Všechnoúhly, které dávají kosinus rovný 0,5. A tyto úhly zapsali do krátké matematické formy. Odpověď jsou dvě nekonečné řady kořenů:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je správná odpověď.

Naděje, obecný princip řešení goniometrických rovnic s pomocí kruhu je pochopitelné. Na kružnici označíme kosinus (sinus, tangens, kotangens) z dané rovnice, narýsujeme odpovídající úhly a zapíšeme odpověď. Samozřejmě musíte přijít na to, jaké jsme rohy viděl na kruhu. Někdy to není tak zřejmé. No, jak jsem řekl, logika je zde nutná.)

Pojďme například analyzovat jinou goniometrickou rovnici:

Upozorňuji, že číslo 0,5 není jediné možné číslo v rovnicích!) Jen je pro mě pohodlnější ho psát než odmocniny a zlomky.

Pracujeme podle obecného principu. Nakreslíme kružnici, označíme (na sinusové ose, samozřejmě!) 0,5. Nakreslíme najednou všechny úhly odpovídající tomuto sinusu. Dostáváme tento obrázek:

Nejprve se vypořádáme s úhlem. X v prvním čtvrtletí. Připomeneme si tabulku sinů a určíme hodnotu tohoto úhlu. Věc je jednoduchá:

x \u003d π / 6

Vybavujeme si celé otáčky a s čistým svědomím zapisujeme první sérii odpovědí:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Polovina práce je hotová. Nyní musíme definovat druhý roh... To je složitější než v kosinusu, ano... Ale logika nás zachrání! Jak určit druhý úhel přes x? Ano Snadno! Trojúhelníky na obrázku jsou stejné a červený roh X rovný úhlu X . Pouze se počítá od úhlu π v záporném směru. Proto je červená.) A pro odpověď potřebujeme úhel správně změřený od kladné poloosy OX, tzn. z úhlu 0 stupňů.

Najeďte kurzorem na obrázek a uvidíte vše. První roh jsem odstranil, abych nekomplikoval obraz. Úhel, který nás zajímá (nakreslený zeleně), se bude rovnat:

π - x

x známe to π /6 . Takže druhý úhel bude:

π - π /6 = 5π /6

Znovu si připomeneme přidání plných otáček a zapíšeme druhou sérii odpovědí:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je vše. Úplná odpověď se skládá ze dvou řad kořenů:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Rovnice s tečnou a kotangens lze snadno řešit pomocí stejného obecného principu pro řešení goniometrických rovnic. Pokud ovšem nevíte, jak nakreslit tečnu a kotangens na trigonometrické kružnici.

Ve výše uvedených příkladech jsem použil tabulkovou hodnotu sinus a kosinus: 0,5. Tito. jeden z těch významů, které student zná musí. Nyní rozšíříme naše schopnosti na všechny ostatní hodnoty. Rozhodněte se, tak se rozhodněte!)

Řekněme tedy, že potřebujeme vyřešit následující trigonometrickou rovnici:

Tato kosinová hodnota v souhrnné tabulky Ne. Chladně ignorujeme tuto hroznou skutečnost. Nakreslíme kružnici, označíme 2/3 na ose kosinus a nakreslíme odpovídající úhly. Dostáváme tento obrázek.

Pro začátek si rozumíme s úhlem v prvním čtvrtletí. Aby věděli, čemu se x rovná, odpověď by si hned zapsali! Nevíme... Selhání!? Uklidnit! Matematika nenechává své vlastní v potížích! Pro tento případ vymyslela obloukové kosiny. Nevím? Nadarmo. Zjistěte, je to mnohem jednodušší, než si myslíte. Podle tohoto odkazu neexistuje jediné záludné zaklínadlo o "inverzních goniometrických funkcích" ... V tomto tématu je to nadbytečné.

Pokud víte, řekněte si: "X je úhel, jehož kosinus je 2/3." A hned, čistě podle definice arkosinusu, můžeme napsat:

Vzpomeneme si na další otáčky a klidně si zapíšeme první řadu kořenů naší goniometrické rovnice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druhá řada odmocnin se také zapisuje téměř automaticky, pro druhý úhel. Vše je stejné, pouze x (arccos 2/3) bude s mínusem:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A všechny věci! Toto je správná odpověď. Ještě jednodušší než s tabulkovými hodnotami. Nemusíte si nic pamatovat.) Mimochodem, ti nejpozornější si všimnou, že tento obrázek s řešením přes arkus kosinus se v podstatě neliší od obrázku pro rovnici cosx = 0,5.

Přesně tak! Obecná zásada proto je to běžné! Konkrétně jsem nakreslil dva téměř stejné obrázky. Kruh nám ukazuje úhel X svým kosinusem. Je to tabulkový kosinus, nebo ne - kruh nezná. O jaký druh úhlu se jedná, π / 3, nebo jaký druh arkosinusu se rozhodneme my.

Se sinem stejná píseň. Například:

Opět nakreslíme kruh, označíme sinus rovný 1/3, nakreslíme rohy. Ukazuje se tento obrázek:

A opět je obrázek téměř stejný jako u rovnice sinx = 0,5. Opět začínáme v první čtvrtině z rohu. Čemu se rovná x, je-li jeho sinus 1/3? Žádný problém!

Takže první balíček kořenů je připraven:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Pojďme se podívat na druhý úhel. V příkladu s hodnotou tabulky 0,5 se rovnalo:

π - x

Tak tady to bude úplně stejné! Pouze x je jiné, arcsin 1/3. No a co!? Druhý balíček kořenů můžete bezpečně napsat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je zcela správná odpověď. I když to nevypadá moc povědomě. Ale je to srozumitelné, doufám.)

Takto se řeší goniometrické rovnice pomocí kruhu. Tato cesta je jasná a srozumitelná. Právě on šetří v goniometrických rovnicích s výběrem kořenů na daném intervalu, v goniometrických nerovnicích - ty se obecně řeší téměř vždy v kruhu. Zkrátka v jakýchkoliv úlohách, které jsou trochu složitější než standardní.

Uvádět znalosti do praxe?

Řešte goniometrické rovnice:

Zpočátku je to jednodušší, přímo na této lekci.

Teď je to složitější.

Nápověda: zde musíte myslet na kruh. Osobně.)

A nyní navenek nenáročné ... Říká se jim také speciální případy.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tip: Zde musíte v kruhu zjistit, kde jsou dvě řady odpovědí a kde jedna ... A jak zapsat jednu místo dvou sérií odpovědí. Ano, aby se neztratil ani jeden kořen z nekonečného počtu!)

No, docela jednoduché):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Nápověda: zde musíte vědět, co je arcsinus, arckosinus? Co je arkus tangens, arkus tangens? Většina jednoduché definice. Nemusíte si ale pamatovat žádné tabulkové hodnoty!)

Odpovědi jsou samozřejmě v nepořádku):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne všechno se daří? Se děje. Přečtěte si lekci znovu. Pouze promyšleně(je tam takové zastaralé slovo...) A sledujte odkazy. Hlavní odkazy jsou o kruhu. Bez toho v trigonometrii - jak přejít silnici se zavázanýma očima. Někdy to funguje.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a nadcházejících událostech.
Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých upozornění a zpráv.
Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
Pokud se zúčastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné pobídky, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

V případě, že je nutné - v souladu se zákonem, soudním řádem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace - zveřejnit Vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné z důvodu bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiného veřejného zájmu.
V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné třetí straně, nástupci.

Ochrana osobních údajů

Zachování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

Řešení goniometrických rovnic jakékoli úrovně složitosti nakonec vede k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. A v tomto se opět ukazuje jako nejlepší pomocník trigonometrický kruh.

Připomeňte si definice kosinu a sinusu.

Kosinus úhlu je úsečka (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Sinus úhlu je ordináta (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Kladný směr pohybu po trigonometrické kružnici je považován za pohyb proti směru hodinových ručiček. Otočení o 0 stupňů (nebo 0 radiánů) odpovídá bodu se souřadnicemi (1; 0)

Tyto definice používáme k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

1. Řešte rovnici

Tato rovnice je splněna všemi takovými hodnotami úhlu natočení, které odpovídají bodům kruhu, jejichž pořadnice je rovna .

Označme bod pořadnicí na ose y:

Pojďme utrácet vodorovná čára rovnoběžně s osou x, dokud se neprotne s kružnicí. Dostaneme dva body ležící na kružnici a mající pořadnici. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům:

Pokud po opuštění bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián obejdeme celý kruh, pak dojdeme k bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián a se stejnou pořadnicí. To znamená, že tento úhel natočení také splňuje naši rovnici. Můžeme udělat tolik "nečinných" zatáček, kolik chceme, vracet se do stejného bodu a všechny tyto hodnoty úhlu splní naši rovnici. Počet otáček "naprázdno" je označen písmenem (nebo). Protože tyto otáčky můžeme provádět v kladném i záporném směru, (nebo ) může nabývat libovolných celočíselných hodnot.

To znamená, že první řada řešení původní rovnice má tvar:

, , - sada celých čísel (1)

Podobně má druhá řada řešení tvar:

, Kde , . (2)

Jak jste uhodli, tato řada řešení je založena na bodu kružnice, který odpovídá úhlu natočení o .

Tyto dvě řady řešení lze spojit do jednoho záznamu:

Pokud vezmeme tento záznam (tedy sudý), dostaneme první řadu řešení.

Pokud vezmeme tento záznam (tedy lichý), dostaneme druhou řadu řešení.

2. Nyní vyřešme rovnici

Protože je úsečka bodu jednotkové kružnice získaná otočením o úhel, označíme na ose bod s úsečkou:

Nakreslete svislou čáru rovnoběžnou s osou, dokud se neprotne s kružnicí. Získáme dva body ležící na kruhu a mající úsečku. Tyto body odpovídají rotačním úhlům a radiánům. Připomeňme, že při pohybu ve směru hodinových ručiček získáme záporný úhel rotace:

Zapíšeme dvě řady řešení:

(Do správného bodu se dostaneme průchodem z hlavního plného kruhu, tzn.

Pojďme spojit tyto dvě série do jednoho příspěvku:

3. Řešte rovnici

Přímka tečen prochází bodem se souřadnicemi (1,0) jednotkové kružnice rovnoběžné s osou OY

Označte na něm bod s pořadnicí rovnou 1 (hledáme tečnu, jejíž úhly je 1):

Spojte tento bod s počátkem přímkou a označte průsečíky přímky s jednotkovou kružnicí. Průsečíky přímky a kružnice odpovídají úhlům natočení na a :

Protože body odpovídající úhlům natočení, které splňují naši rovnici, leží v radiánech od sebe, můžeme řešení zapsat následovně:

4. Řešte rovnici

Přímka kotangens prochází bodem se souřadnicemi jednotkové kružnice rovnoběžné s osou.

Na přímce kotangens označíme bod s úsečkou -1:

Připojte tento bod k počátku přímky a pokračujte v ní, dokud se neprotne s kružnicí. Tato čára bude protínat kružnici v bodech odpovídajících úhlům rotace a radiánům: