Goniometrické rovnice zvýšené obtížnosti s řešením. Řešení goniometrických rovnic. Jak řešit goniometrickou rovnici

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy E-mailem atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečné nabídky, propagační akce a další akce a nadcházející události.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme vámi poskytnuté informace použít ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• Je-li to nutné – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Při řešení mnoha matematické problémy, zejména těch, které nastanou před 10. ročníkem, je jasně definováno pořadí provedených akcí, které povedou k cíli. Mezi takové problémy patří například lineární a kvadratické rovnice, lineární a kvadratické nerovnice, zlomkové rovnice a rovnice redukující na kvadratické. Princip úspěšného řešení každého ze zmíněných problémů je následující: je třeba si ujasnit, jaký typ problému řešíte, zapamatovat si nezbytnou posloupnost akcí, které povedou k požadovanému výsledku, tzn. odpovězte a postupujte podle těchto kroků.

Je zřejmé, že úspěch či neúspěch při řešení konkrétní úlohy závisí především na tom, jak správně je určen typ řešené rovnice, jak správně je reprodukována posloupnost všech fází jejího řešení. Samozřejmě je v tomto případě nutné mít dovednosti pro provádění identických transformací a výpočtů.

Jiná situace je s goniometrické rovnice. Není vůbec těžké zjistit, že rovnice je trigonometrická. Potíže nastávají při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.

Podle vzhled rovnice, je někdy obtížné určit její typ. A bez znalosti typu rovnice je téměř nemožné vybrat tu správnou z několika desítek trigonometrických vzorců.

Chcete-li vyřešit goniometrickou rovnici, musíte zkusit:

1. přiveďte všechny funkce zahrnuté v rovnici do „stejných úhlů“;
2. převést rovnici na „identické funkce“;
3. faktor levá strana rovnice atd.

Uvažujme základní metody řešení goniometrické rovnice.

I. Redukce na nejjednodušší goniometrické rovnice

Schéma řešení

Krok 1. Vyjádřete goniometrickou funkci pomocí známých složek.

Krok 2. Najděte argument funkce pomocí vzorců:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Najděte neznámou proměnnou.

Příklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Řešení.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpověď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilní náhrada

Schéma řešení

Krok 1. Redukujte rovnici do algebraického tvaru s ohledem na jednu z goniometrických funkcí.

Krok 2. Výslednou funkci označíme proměnnou t (v případě potřeby zaveďte omezení na t).

Krok 3 Výslednou algebraickou rovnici zapište a vyřešte.

Krok 4. Proveďte zpětnou výměnu.

Krok 5. Vyřešte nejjednodušší goniometrickou rovnici.

Příklad.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Řešení.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Nechť sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 nebo e = -3/2, nesplňuje podmínku |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpověď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukce pořadí rovnic

Schéma řešení

Krok 1. Nahraďte tuto rovnici lineární pomocí vzorce pro snížení stupně:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2. Výslednou rovnici řešte metodami I a II.

Příklad.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Řešení.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpověď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogenní rovnice

Schéma řešení

Krok 1. Zredukujte tuto rovnici do tvaru

a) a sin x + b cos x = 0 (homogenní rovnice prvního stupně)

nebo do výhledu

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogenní rovnice druhého stupně).

Krok 2. Vydělte obě strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získejte rovnici pro tan x:

a) tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Krok 3Řešte rovnici pomocí známých metod.

Příklad.

5sin 2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0.

Řešení.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Nechť tg x = t, pak

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 nebo t = -4, což znamená

tg x = 1 nebo tg x = -4.

Z první rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhé rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpověď: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda transformace rovnice pomocí goniometrických vzorců

Schéma řešení

Krok 1. Pomocí všech možných goniometrických vzorců zredukujte tuto rovnici na rovnici řešenou metodami I, II, III, IV.

Krok 2. Výslednou rovnici řešte známými metodami.

Příklad.

hřích x + hřích 2x + hřích 3x = 0.

Řešení.

1) (hřích x + hřích 3x) + hřích 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;

Z první rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhé rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhé rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V důsledku toho x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpověď: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnost a dovednost řešit goniometrické rovnice je velmi důležité, jejich rozvoj vyžaduje značné úsilí, jak ze strany studenta, tak ze strany učitele.

Mnoho problémů stereometrie, fyziky atd. je spojeno s řešením goniometrických rovnic Proces řešení takových problémů ztělesňuje mnoho znalostí a dovedností, které se získávají studiem prvků trigonometrie.

Goniometrické rovnice zaujímají důležité místo v procesu učení matematiky a osobního rozvoje obecně.

Máte ještě otázky? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Lekce a prezentace na téma: "Řešení jednoduchých goniometrických rovnic"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, recenze, přání! Všechny materiály byly zkontrolovány antivirovým programem.

Manuály a simulátory v internetovém obchodě Integral pro stupeň 10 od 1C
Řešíme úlohy v geometrii. Interaktivní úlohy pro stavbu ve vesmíru
Softwarové prostředí "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Co budeme studovat:
1. Co jsou goniometrické rovnice?

3. Dvě hlavní metody řešení goniometrických rovnic.
4. Homogenní goniometrické rovnice.
5. Příklady.

Co jsou goniometrické rovnice?

Kluci, už jsme studovali arcsinus, arkkosinus, arktangens a arkkotangens. Nyní se podíváme na goniometrické rovnice obecně.

Goniometrické rovnice jsou rovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod znaménkem goniometrické funkce.

Zopakujme si formu řešení nejjednodušších goniometrických rovnic:

1)Pokud |a|≤ 1, pak rovnice cos(x) = a má řešení:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jestliže |a|≤ 1, pak rovnice sin(x) = a má řešení:

3) Pokud |a| > 1, pak rovnice sin(x) = a a cos(x) = a nemají řešení 4) Rovnice tg(x)=a má řešení: x=arctg(a)+ πk

5) Rovnice ctg(x)=a má řešení: x=arcctg(a)+ πk

Pro všechny vzorce je k celé číslo

Nejjednodušší goniometrické rovnice mají tvar: T(kx+m)=a, T je nějaká goniometrická funkce.

Příklad.

Řešte rovnice: a) sin(3x)= √3/2

Řešení:

A) Označme 3x=t, pak naši rovnici přepíšeme do tvaru:

Řešení této rovnice bude: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Z tabulky hodnot dostaneme: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vraťme se k naší proměnné: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Potom x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odpověď: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kde n je celé číslo. (-1)^n – mínus jedna na mocninu n.

Další příklady goniometrických rovnic.

Řešte rovnice: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Řešení:

A) Tentokrát se rovnou přesuneme k výpočtu kořenů rovnice:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Potom x/5= πk => x=5πk

Odpověď: x=5πk, kde k je celé číslo.

B) Zapíšeme jej ve tvaru: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Víme, že: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odpověď: x=2π/9 + πk/3, kde k je celé číslo.

Řešte rovnice: cos(4x)= √2/2. A najděte všechny kořeny v segmentu.

Řešení:

Rozhodneme se v obecný pohled naše rovnice: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Nyní se podívejme, jaké kořeny padají na náš segment. Při k Při k=0, x= π/16 jsme v daném segmentu.
Při k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 se trefíme znovu.
Pro k=2 platí x= π/16+ π=17π/16, ale zde jsme se netrefili, což znamená, že pro velké k se také samozřejmě netrefíme.

Odpověď: x= π/16, x= 9π/16

Dvě hlavní metody řešení.

Podívali jsme se na nejjednodušší goniometrické rovnice, ale existují i ​​složitější. K jejich řešení se používá metoda zavedení nové proměnné a metoda faktorizace. Podívejme se na příklady.

Řešíme rovnici:

Řešení:
K řešení naší rovnice použijeme metodu zavedení nové proměnné, označující: t=tg(x).

V důsledku nahrazení dostaneme: t 2 + 2t -1 = 0

Nalezneme kořeny kvadratické rovnice: t=-1 a t=1/3

Pak tg(x)=-1 a tg(x)=1/3, dostaneme nejjednodušší goniometrickou rovnici, najdeme její kořeny.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odpověď: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Příklad řešení rovnice

Řešte rovnice: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Řešení:

Použijme identitu: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naše rovnice bude mít tvar: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Zaveďme náhradu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice jsou kořeny: t=2 a t=-1/2

Pak cos(x)=2 a cos(x)=-1/2.

Protože cosinus nemůže nabývat hodnot větších než jedna, pak cos(x)=2 nemá kořeny.

Pro cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odpověď: x= ±2π/3 + 2πk

Homogenní goniometrické rovnice.

Definice: Rovnice tvaru a sin(x)+b cos(x) nazýváme homogenní goniometrické rovnice prvního stupně.

Rovnice formuláře

homogenní goniometrické rovnice druhého stupně.

Chcete-li vyřešit homogenní goniometrickou rovnici prvního stupně, vydělte ji cos(x): Nemůžete dělit kosinusem, pokud se rovná nule, přesvědčme se, že tomu tak není:
Nechť cos(x)=0, pak asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ale sinus a kosinus se nerovnají nule zároveň, dostaneme rozpor, takže můžeme klidně dělit o nulu.

Řešte rovnici:
Příklad: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Řešení:

Vyjmeme společný faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Pak musíme vyřešit dvě rovnice:

Cos(x)=0 a cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 při x= π/2 + πk;

Uvažujme rovnici cos(x)+sin(x)=0 Vydělte naši rovnici cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odpověď: x= π/2 + πk a x= -π/4+πk

Jak řešit homogenní goniometrické rovnice druhého stupně?
Kluci, vždy dodržujte tato pravidla!

1. Podívejte se, čemu se rovná koeficient a, je-li a=0, pak naše rovnice bude mít tvar cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), jehož příklad řešení je na předchozím snímku

2. Je-li a≠0, pak musíte obě strany rovnice vydělit kosinusovou druhou mocninou, dostaneme:

Změníme proměnnou t=tg(x) a dostaneme rovnici:

Řešte příklad č.:3

Řešte rovnici:
Řešení:

Vydělme obě strany rovnice kosinovou druhou mocninou:

Změníme proměnnou t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nalezneme kořeny kvadratické rovnice: t=-3 at=1

Potom: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odpověď: x=-arctg(3) + πk a x= π/4+ πk

Řešte příklad č.:4

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Můžeme řešit takové rovnice: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Odpověď: x= - π/4 + 2πk a x=5π/4 + 2πk

Řešte příklad č.:5

Řešte rovnici:

Řešení:
Změňme svůj výraz:

Zaveďme náhradu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Řešením naší kvadratické rovnice budou kořeny: t=-2 a t=1/2

Pak dostaneme: tg(2x)=-2 a tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odpověď: x=-arctg(2)/2 + πk/2 a x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problémy pro samostatné řešení.

1) Řešte rovnici

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Řešte rovnice: sin(3x)= √3/2. A najděte všechny kořeny na segmentu [π/2; π].

3) Vyřešte rovnici: postýlka 2 (x) + 2 postýlka (x) + 1 =0

4) Řešte rovnici: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Řešte rovnici: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Řešte rovnici: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Videokurz „Get an A“ obsahuje všechna témata potřebná k úspěšnému složení jednotné státní zkoušky z matematiky s 60-65 body. Úplně všechny problémy 1-13 Jednotná státní zkouška profilu matematika. Vhodné i pro složení Základní jednotné státní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s 90-100 body, musíte část 1 vyřešit za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz k jednotné státní zkoušce pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části jednotné státní zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je více než 70 bodů na Jednotnou státní zkoušku a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani student humanitních oborů.

Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, úskalí a tajemství jednotné státní zkoušky. Byly analyzovány všechny aktuální úkoly části 1 z FIPI Task Bank. Kurz plně vyhovuje požadavkům jednotné státní zkoušky 2018.

Kurz obsahuje 5 velká témata, každý 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky úkolů jednotné státní zkoušky. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů úkolů jednotné státní zkoušky. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, rozvoj prostorové představivosti. Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Jasné vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Základ pro řešení složité úkoly 2 části jednotné státní zkoušky.

Koncepce řešení goniometrických rovnic.

• Chcete-li vyřešit goniometrickou rovnici, převeďte ji na jednu nebo více základních goniometrických rovnic. Řešení goniometrické rovnice nakonec vede k řešení čtyř základních goniometrických rovnic.

Řešení základních goniometrických rovnic.

• Existují 4 typy základních goniometrických rovnic:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Řešení základních goniometrických rovnic zahrnuje pohled na různé pozice x na jednotkové kružnici a také použití převodní tabulky (nebo kalkulačky).
• Příklad 1. sin x = 0,866. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) dostanete odpověď: x = π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: 2π/3. Pamatujte: všechny goniometrické funkce jsou periodické, což znamená, že jejich hodnoty se opakují. Například periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Proto je odpověď napsána takto:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Příklad 2. cos x = -1/2. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) dostanete odpověď: x = 2π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Příklad 3. tg (x - π/4) = 0.
• Odpověď: x = π/4 + πn.
• Příklad 4. ctg 2x = 1,732.
• Odpověď: x = π/12 + πn.

Transformace používané při řešení goniometrických rovnic.

• K transformaci goniometrických rovnic se používají algebraické transformace (faktorizace, redukce homogenní členové atd.) a goniometrické identity.
• Příklad 5: Pomocí goniometrických identit se rovnice sin x + sin 2x + sin 3x = 0 převede na rovnici 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tedy následující základní goniometrické rovnice potřeba vyřešit: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Hledání úhlů pomocí známých funkčních hodnot.

  • Než se naučíte řešit goniometrické rovnice, musíte se naučit najít úhly pomocí známých funkčních hodnot. To lze provést pomocí převodní tabulky nebo kalkulačky.
  • Příklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpověď x = 42,95 stupňů. Jednotková kružnice poskytne další úhly, jejichž kosinus je také 0,732.

• Odložte roztok na jednotkovém kruhu.

  • Řešení trigonometrické rovnice můžete vykreslit na jednotkové kružnici. Řešením trigonometrické rovnice na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného mnohoúhelníku.
  • Příklad: Řešení x = π/3 + πn/2 na jednotkové kružnici představují vrcholy čtverce.
  • Příklad: Řešení x = π/4 + πn/3 na jednotkové kružnici představují vrcholy pravidelného šestiúhelníku.

• Metody řešení goniometrických rovnic.

  • Pokud daná goniometrická rovnice obsahuje pouze jednu goniometrickou funkci, řešte tuto rovnici jako základní goniometrickou rovnici. Pokud daná rovnice obsahuje dvě nebo více goniometrických funkcí, pak existují 2 metody řešení takové rovnice (v závislosti na možnosti její transformace).
    • Metoda 1.
  • Převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kde f(x), g(x), h(x) jsou základní goniometrické rovnice.
  • Příklad 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Řešení. Pomocí vzorce s dvojitým úhlem sin 2x = 2*sin x*cos x nahraďte sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
  • Příklad 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
  • Příklad 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Převeďte danou goniometrickou rovnici na rovnici obsahující pouze jednu goniometrickou funkci. Pak tuto goniometrickou funkci nahraďte nějakou neznámou, například t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t atd.).
  • Příklad 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Řešení. V této rovnici nahraďte (cos^2 x) (1 - sin^2 x) (podle identity). Transformovaná rovnice je:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Nyní rovnice vypadá takto: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnice, mající dva kořeny: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý kořen t2 nesplňuje funkční rozsah (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Příklad 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Řešení. Nahraďte tg x za t. Přepište původní rovnici takto: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Nyní najděte t a poté najděte x pro t = tan x.