Εφαρμογή διανυσμάτων. Διανύσματα, ορισμός, ενέργειες σε διανύσματα, οι ιδιότητές τους. Το γινόμενο με τελείες μέσω συντεταγμένων

Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου ένα εκτενές και πολυαναμενόμενο θέμα αναλυτική γεωμετρία. Πρώτον, λίγα για αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών…. Σίγουρα θυμηθήκατε τώρα το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο σφραγισμένες μαθηματικές στροφές έρχονται αμέσως στο μυαλό: «γραφική μέθοδος λύσης» και «αναλυτική μέθοδος λύσης». Γραφική μέθοδος, φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων, σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων της αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής, συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε με ακρίβεια τους απαραίτητους τύπους - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα κάνει καθόλου σχέδια χωρίς σχέδια, εξάλλου για την καλύτερη κατανόηση του υλικού θα προσπαθήσω να τα φέρω πέρα ​​από την ανάγκη.

Το ανοιχτό μάθημα των μαθημάτων στη γεωμετρία δεν ισχυρίζεται ότι είναι θεωρητική πληρότητα, επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό από πρακτική άποψη. Εάν χρειάζεστε μια πληρέστερη αναφορά σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσβάσιμη βιβλιογραφία:

1) Κάτι που, χωρίς αστείο, είναι γνωστό σε πολλές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα σχολικών αποδυτηρίων έχει ήδη αντέξει 20 (!) επανεκδόσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.

2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι λογοτεχνία για την τριτοβάθμια εκπαίδευση, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που εμφανίζονται σπάνια μπορεί να ξεφύγουν από το οπτικό μου πεδίο και το σεμινάριο θα είναι πολύτιμη βοήθεια.

Και τα δύο βιβλία είναι δωρεάν για λήψη διαδικτυακά. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, που μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα ανώτερων μαθηματικών.

Από τα εργαλεία, προσφέρω και πάλι τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει σημαντικά τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με βασικές γεωμετρικές έννοιες και σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια σας επαναλήπτες)

Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Περαιτέρω προτείνω να διαβάσετε το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, καθώς Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Η τοπική εργασία δεν θα είναι περιττή - Διαίρεση του τμήματος από αυτή την άποψη. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε εξίσωση ευθείας σε επίπεδοΜε τα πιο απλά παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν πώς να λύνουν προβλήματα στη γεωμετρία. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα στη γραμμή και στο επίπεδο , άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.

Η έννοια του διανύσματος. ελεύθερο διάνυσμα

Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, εάν αναδιατάξετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Είναι βολικό να προσδιορίσετε την έννοια του διανύσματος με την κίνηση ενός φυσικού σώματος: πρέπει να παραδεχτείτε ότι η είσοδος στις πόρτες ενός ινστιτούτου ή η έξοδος από τις πόρτες ενός ινστιτούτου είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα.

Είναι βολικό να ληφθούν υπόψη μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου, το διάστημα ως το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα. Ένα τέτοιο διάνυσμα έχει το ίδιο τέλος και αρχή.

!!! Σημείωση: Εδώ και παρακάτω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.

Ονομασίες:Πολλοί τράβηξαν αμέσως την προσοχή σε ένα ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν ότι έβαλαν και ένα βέλος στην κορυφή! Αυτό είναι σωστό, μπορείτε να γράψετε με ένα βέλος: , αλλά παραδεκτό και εγγραφή που θα χρησιμοποιήσω αργότερα. Γιατί; Προφανώς, μια τέτοια συνήθεια έχει αναπτυχθεί από πρακτικούς λόγους, οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχθηκαν πολύ διαφορετικοί και δασύτριχοι. Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, μερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά επισημαίνουν τα γράμματα με έντονη γραφή: , υπονοώντας έτσι ότι πρόκειται για διάνυσμα.

Αυτό ήταν το στυλ, και τώρα για τους τρόπους γραφής των διανυσμάτων:

1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα:
και ούτω καθεξής. Ενώ το πρώτο γράμμα Αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το τελικό σημείο του διανύσματος.

2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, το διάνυσμά μας μπορεί να επανασχεδιαστεί για συντομία με ένα μικρό λατινικό γράμμα .

Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικά.

Το μήκος ενός διανύσματος συμβολίζεται με το πρόσημο του modulo: ,

Πώς να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος, θα μάθουμε (ή θα επαναλάβουμε, για κάποιον πώς) λίγο αργότερα.

Αυτή ήταν στοιχειώδης πληροφορία για το διάνυσμα, γνωστή σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.

Αν είναι πολύ απλό - Το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:

Παλαιότερα ονομάζαμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, αυτό είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Επειδή κατά την επίλυση προβλημάτων, μπορείτε να «προσαρτήσετε» ένα ή άλλο διάνυσμα σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο ακίνητο! Φανταστείτε ένα διάνυσμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει μια τέτοια παροιμία μαθητή: Κάθε λέκτορας στο f ** u στο διάνυσμα. Άλλωστε, όχι μόνο μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι μαθηματικά σωστά - ένα διάνυσμα μπορεί επίσης να προσαρτηθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, οι ίδιοι οι μαθητές υποφέρουν πιο συχνά =)

Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- Αυτό ένα μάτσο πανομοιότυπα κατευθυντικά τμήματα. Ο σχολικός ορισμός του διανύσματος, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα ...», υποδηλώνει ειδικόςένα κατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από ένα δεδομένο σύνολο, το οποίο είναι προσαρτημένο σε ένα ορισμένο σημείο του επιπέδου ή του χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος είναι γενικά λανθασμένη και το σημείο εφαρμογής του διανύσματος έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο είναι αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, όχι δωρεάνδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).

Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων

Στο μάθημα της σχολικής γεωμετρίας εξετάζονται διάφορες ενέργειες και κανόνες με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, ο κανόνας της διαφοράς των διανυσμάτων, ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το κλιμακωτό γινόμενο των διανυσμάτων κ.λπ.Ως σπόρος, επαναλαμβάνουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

Κανόνας πρόσθεσης διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα των τριγώνων

Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και :

Απαιτείται να βρεθεί το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, αναβάλλουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα:

Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα . Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, συνιστάται να βάλετε ένα φυσικό νόημα σε αυτόν: αφήστε κάποιο σώμα να κάνει μια διαδρομή κατά μήκος του διανύσματος και μετά κατά μήκος του διανύσματος. Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει που ξεκινά από το σημείο αναχώρησης και τελειώνει στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να ακολουθήσει τον δρόμο του έντονα ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως με αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος αθροίσματος που προκύπτει.

Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από αρχήδιάνυσμα , τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.

Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, μιλάμε για παράλληλα διανύσματα. Σε σχέση όμως με αυτά χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο «συγγραμμικό».

Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συνκατευθυντική. Εάν τα βέλη κοιτάζουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετα κατευθυνόμενη.

Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο εικονίδιο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).

δουλειάενός μη μηδενικού διανύσματος από έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με μια εικόνα:

Καταλαβαίνουμε αναλυτικότερα:

1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.

2) Μήκος. Εάν ο παράγοντας περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι δύο φορές μικρότερο από το μήκος του διανύσματος. Αν ο πολλαπλασιαστής modulo είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.

3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί ως ένα άλλο, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Ετσι: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.

4) Τα διανύσματα είναι συμκατευθυντικά. Τα διανύσματα και είναι επίσης συμκατευθυντικά. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας κατευθύνεται αντίθετα από οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.

Ποια διανύσματα είναι ίσα;

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συν-κατεύθυνση υποδηλώνει ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Ο ορισμός θα είναι ανακριβής (περιττός) αν πείτε: "Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συνκατευθυνόμενα και έχουν το ίδιο μήκος."

Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, το οποίο συζητήθηκε ήδη στην προηγούμενη παράγραφο.

Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα

Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα σε ένα επίπεδο. Σχεδιάστε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και αφήστε το στην άκρη από την αρχή μονόκλινοφορείς και:

Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Συνιστώ σιγά σιγά να συνηθίσουμε τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότηταΚαι ορθογωνικότητα.

Ονομασία:η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο κάθετο πρόσημο, για παράδειγμα: .

Τα θεωρούμενα διανύσματα ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Ποια είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς, πιο λεπτομερείς πληροφορίες μπορούν να βρεθούν στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση.Με απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίωσης πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.

Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: "ορθό" - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο "κανονικοποιημένο" σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.

Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟανταλλάξουμε θέσεις.

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς:
, Οπου - αριθμοί, που ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Αλλά η ίδια η έκφραση που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςβάση .

Δείπνο που σερβίρεται:

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση του διανύσματος ως προς τη βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις εξετάστηκαν:
1) ο κανόνας του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .

Τώρα παραμερίστε διανοητικά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο στο επίπεδο. Είναι αρκετά προφανές ότι η διαφθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα «κουβαλάει τα πάντα μαζί σου». Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να παραμερίζονται από την προέλευση, το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει από αυτό! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, γιατί ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας βγάλει ένα "πάσο" σε ένα απροσδόκητο μέρος.

Τα διανύσματα , απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα συν-κατευθύνεται με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν, μπορεί να γραφτεί σχολαστικά ως εξής:


Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).

Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν σας είπα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι που, παρατήρησα ότι η αφαίρεση είναι ειδική περίπτωση πρόσθεσης. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται ήρεμα ως άθροισμα: . Αναδιάταξη των όρων σε θέσεις και ακολουθήστε το σχέδιο πόσο ξεκάθαρα λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις καταστάσεις.

Θεωρείται αποσύνθεση της μορφής μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή στο σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα, η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:

Ή με σύμβολο ίσον:

Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικές εργασίες, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές εγγραφής.

Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά και πάλι θα πω: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα, αυστηρά στη δεύτερη θέσηγράψτε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα . Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.

Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα σκεφτείτε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, όλα είναι σχεδόν ίδια εδώ! Θα προστεθεί μόνο μία ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να εκτελέσω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα αναβάλω από την αρχή:

Οποιοςτρισδιάστατο διάνυσμα χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνεται σε ορθοκανονική βάση:
, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) στη δεδομένη βάση.

Παράδειγμα από την εικόνα: . Ας δούμε πώς λειτουργούν οι κανόνες διανυσματικών ενεργειών εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (ματζέντα βέλος). Δεύτερον, εδώ είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτήν την περίπτωση τριών, διανυσμάτων: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το σημείο εκκίνησης (η αρχή του διανύσματος) και καταλήγει στο τελικό σημείο άφιξης (το τέλος του διανύσματος).

Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα, προσπαθήστε να αναβάλετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η επέκτασή του «μένει μαζί του».

Ομοίως με την θήκη του αεροπλάνου, εκτός από τη γραφή εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .

Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην αποσύνθεση, τότε τοποθετούνται μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - σημειωσε .

Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:

Εδώ, ίσως, βρίσκονται όλες οι ελάχιστες θεωρητικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Ίσως υπάρχουν πάρα πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό συνιστώ στα ανδρείκελα να ξαναδιαβάσουν και να κατανοήσουν ξανά αυτές τις πληροφορίες. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη να αναφέρεται στο βασικό μάθημα κατά καιρούς για καλύτερη αφομοίωση της ύλης. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιηθούν συχνά σε όσα ακολουθούν. Σημειώνω ότι τα υλικά του ιστότοπου δεν επαρκούν για να περάσετε ένα θεωρητικό τεστ, ένα συνέδριο για τη γεωμετρία, αφού κωδικοποιώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (εκτός από αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικού στυλ παρουσίασης, αλλά ένα συν για την κατανόησή σας του θέματος. Για λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, σας ζητώ να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.

Τώρα ας περάσουμε στο πρακτικό μέρος:

Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες

Οι εργασίες που θα εξεταστούν, είναι πολύ επιθυμητό να μάθετε πώς να τις επιλύετε πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, μην το θυμάστε καν επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, αφού άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας βασίζονται στα πιο απλά στοιχειώδη παραδείγματα και θα είναι ενοχλητικό να ξοδεύετε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια. Δεν χρειάζεται να κουμπώσεις τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σου, πολλά πράγματα σου είναι γνωστά από το σχολείο.

Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες ...θα το δείτε μόνοι σας.

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα με δύο σημεία;

Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες διανυσματική έναρξη.

Ασκηση:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο σημεία στο επίπεδο και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες

Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος συμβολισμός:

Οι αισθητικοί θα αποφασίσουν ως εξής:

Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση του δίσκου.

Απάντηση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν χρειαζόταν να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να εξηγήσω ορισμένα σημεία στα ανδρείκελα, δεν θα είμαι πολύ τεμπέλης:

Πρέπει να γίνει κατανοητό διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:

Συντεταγμένες σημείωνείναι οι συνήθεις συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν πώς να σχεδιάζουν σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων από τον βαθμό 5-6. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.

Οι συντεταγμένες του ίδιου διανύσματοςείναι η επέκτασή του ως προς τη βάση , στην προκειμένη περίπτωση . Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, αν χρειαστεί, μπορούμε εύκολα να το αναβάλουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα, δεν μπορείτε να δημιουργήσετε καθόλου άξονες, ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση, μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.

Οι εγγραφές των σημειακών συντεταγμένων και των διανυσματικών συντεταγμένων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και αίσθηση των συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το χώρο.

Κυρίες και κύριοι, γεμίζουμε τα χέρια μας:

Παράδειγμα 2

α) Δίνονται σημεία και . Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί Και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Δίνονται βαθμοί και . Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα .

Ίσως αρκετά. Αυτά είναι παραδείγματα για μια ανεξάρτητη απόφαση, προσπαθήστε να μην τα παραμελήσετε, θα αποδώσει ;-). Δεν απαιτούνται σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Τι είναι σημαντικό για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε το αριστοτεχνικό σφάλμα «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ προκαταβολικά συγγνώμη αν έκανα λάθος =)

Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;

Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.

Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο

Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική

Παράδειγμα 3

Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο

Ευθύγραμμο τμήμα - δεν είναι διάνυσμα, και δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά, φυσικά. Επιπλέον, εάν ολοκληρώσετε το σχέδιο σε κλίμακα: 1 μονάδα. \u003d 1 cm (δύο τετραδικά κελιά), τότε η απάντηση μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.

Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά υπάρχουν μερικά σημαντικά σημεία σε αυτήν που θα ήθελα να διευκρινίσω:

Αρχικά, στην απάντηση ορίσαμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, η γενική διατύπωση θα είναι μια μαθηματικά ικανή λύση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".

Δεύτερον, ας επαναλάβουμε το σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για το εξεταζόμενο πρόβλημα:

δώσε προσοχή στο σημαντικό τεχνικό κόλπο – βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή από κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, πήραμε το αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Η διαδικασία φαίνεται πιο αναλυτικά ως εξής: . Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση στη φόρμα δεν θα είναι λάθος - αλλά είναι σίγουρα ένα ελάττωμα και ένα βαρύ επιχείρημα για τσιμπήματα από την πλευρά του δασκάλου.

Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις:

Συχνά ένας αρκετά μεγάλος αριθμός λαμβάνεται κάτω από τη ρίζα, για παράδειγμα. Πώς να είσαι σε τέτοιες περιπτώσεις; Στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4:. Ναι, χωρίστε εντελώς, έτσι: . Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Ετσι: . Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά είναι σαφώς αδύνατη. Προσπαθώντας να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.

Συμπέρασμα:εάν κάτω από τη ρίζα λάβουμε έναν εντελώς μη εξαγόμενο αριθμό, τότε προσπαθούμε να βγάλουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - στην αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49 κ.λπ.

Κατά την επίλυση διάφορων προβλημάτων, συχνά βρίσκονται ρίζες, προσπαθείτε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερη βαθμολογία και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας σύμφωνα με την παρατήρηση του δασκάλου.

Ας επαναλάβουμε τον τετραγωνισμό των ριζών και άλλων δυνάμεων ταυτόχρονα:

Οι κανόνες για ενέργειες με πτυχία σε γενική μορφή μπορούν να βρεθούν σε ένα σχολικό εγχειρίδιο για την άλγεβρα, αλλά νομίζω ότι όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα από τα παραδείγματα που δίνονται.

Εργασία για μια ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:

Παράδειγμα 4

Δεδομένα σημεία και . Βρείτε το μήκος του τμήματος.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;

Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.

Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο .

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε λειτουργίες που μπορούν να εκτελεστούν με διανύσματα στο επίπεδο και στο διάστημα. Στη συνέχεια, παραθέτουμε τις ιδιότητες των πράξεων σε διανύσματα και τις αιτιολογούμε με τη βοήθεια γεωμετρικών κατασκευών. Θα δείξουμε επίσης την εφαρμογή των ιδιοτήτων των πράξεων σε διανύσματα κατά την απλοποίηση παραστάσεων που περιέχουν διανύσματα.

Για καλύτερη αφομοίωση του υλικού, συνιστούμε να ανανεώσετε τη μνήμη των εννοιών που δίνονται στα διανύσματα του άρθρου - βασικοί ορισμοί.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Η πράξη της πρόσθεσης δύο διανυσμάτων είναι ο κανόνας του τριγώνου.

Ας δείξουμε πώς πάει προσθήκη δύο διανυσμάτων.

Η προσθήκη των διανυσμάτων και γίνεται ως εξής: από ένα αυθαίρετο σημείο Α, σχεδιάζεται ένα διάνυσμα ίσο με, στη συνέχεια, από το σημείο Β, ένα διάνυσμα είναι ίσο με, και το διάνυσμα είναι άθροισμα διανυσμάτων και. Αυτός ο τρόπος προσθήκης δύο διανυσμάτων ονομάζεται κανόνας τριγώνου.

Ας δείξουμε την προσθήκη μη συγγραμμικών διανυσμάτων στο επίπεδο σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου.

Και το παρακάτω σχέδιο δείχνει την προσθήκη διανυσμάτων συνκατευθυντικής και αντίθετης κατεύθυνσης.

Η προσθήκη πολλών διανυσμάτων είναι ο κανόνας του πολυγώνου.

Με βάση την εξεταζόμενη λειτουργία της προσθήκης δύο διανυσμάτων, μπορούμε να προσθέσουμε τρία ή περισσότερα διανύσματα. Σε αυτή την περίπτωση, τα δύο πρώτα διανύσματα προστίθενται, το τρίτο διάνυσμα προστίθεται στο αποτέλεσμα, το τέταρτο προστίθεται στο αποτέλεσμα κ.ο.κ.

Η προσθήκη πολλών διανυσμάτων γίνεται με την ακόλουθη κατασκευή. Από ένα αυθαίρετο σημείο Α του επιπέδου ή του χώρου, ένα διάνυσμα ίσο με τον πρώτο όρο αναβάλλεται, ένα διάνυσμα ίσο με τον δεύτερο όρο αναβάλλεται από το τέλος του, ο τρίτος όρος αναβάλλεται από το τέλος του κ.ο.κ. Έστω το σημείο Β το τέλος του τελευταίου αναβαλλόμενου διανύσματος. Το άθροισμα όλων αυτών των διανυσμάτων θα είναι το διάνυσμα .

Η προσθήκη πολλών διανυσμάτων σε ένα επίπεδο με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται κανόνας πολυγώνου. Εδώ είναι μια απεικόνιση του κανόνα του πολυγώνου.

Απόλυτα παρόμοια είναι η προσθήκη πολλών διανυσμάτων στο χώρο.

Η πράξη του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Τώρα ας δούμε πώς θα συμβεί πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό kαντιστοιχεί σε τέντωμα του διανύσματος κατά συντελεστή k για k > 1 ή συρρίκνωση κατά συντελεστή 0 για 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

Για παράδειγμα, όταν πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με τον αριθμό 2, θα πρέπει να διπλασιάσουμε το μήκος του και να διατηρούμε την κατεύθυνση, και όταν πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με το μείον το ένα τρίτο, θα πρέπει να τριπλασιάσουμε το μήκος του και να αντιστρέψουμε την κατεύθυνση. Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε μια απεικόνιση αυτής της περίπτωσης.

Ιδιότητες πράξεων σε διανύσματα.

Έτσι, έχουμε ορίσει την πράξη της πρόσθεσης διανυσμάτων και την πράξη του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό. Επιπλέον, για τυχόν διανύσματα και αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς, χρησιμοποιώντας γεωμετρικές κατασκευές, μπορεί κανείς να δικαιολογήσει τα ακόλουθα ιδιότητες των πράξεων σε διανύσματα. Μερικά από αυτά είναι προφανή.

Οι εξεταζόμενες ιδιότητες μας δίνουν την ευκαιρία να μετασχηματίσουμε διανυσματικές εκφράσεις.

Οι ιδιότητες ανταλλαγής και συσχετικότητας της πράξης πρόσθεσης διανυσμάτων καθιστούν δυνατή την προσθήκη διανυσμάτων με αυθαίρετη σειρά.

Δεν υπάρχει πράξη αφαίρεσης διανυσμάτων ως τέτοια, αφού η διαφορά των διανυσμάτων είναι το άθροισμα των διανυσμάτων και .

Λαμβάνοντας υπόψη τις εξεταζόμενες ιδιότητες των πράξεων σε διανύσματα, μπορούμε να εκτελέσουμε μετασχηματισμούς σε παραστάσεις που περιέχουν αθροίσματα, διαφορές διανυσμάτων και γινόμενα διανυσμάτων κατά αριθμούς, όπως και στις αριθμητικές παραστάσεις.

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Ορισμός Μια διατεταγμένη συλλογή (x 1 , x 2 , ... , x n) n πραγματικών αριθμών ονομάζεται διάνυσμα n διαστάσεωνκαι οι αριθμοί x i (i = ) - συστατικάή συντεταγμένες,

Παράδειγμα. Εάν, για παράδειγμα, ένα συγκεκριμένο εργοστάσιο αυτοκινήτων πρέπει να παράγει 50 επιβατικά αυτοκίνητα, 100 φορτηγά, 10 λεωφορεία, 50 σετ ανταλλακτικών για αυτοκίνητα και 150 σετ για φορτηγά και λεωφορεία ανά βάρδια, τότε το πρόγραμμα παραγωγής αυτού του εργοστασίου μπορεί να γραφεί ως διάνυσμα (50, 100, 10, 50) με πέντε στοιχεία, .

Σημειογραφία. Τα διανύσματα σημειώνονται με έντονα πεζά γράμματα ή γράμματα με μπάρα ή βέλος στην κορυφή, για παράδειγμα, έναή. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσοςαν έχουν τον ίδιο αριθμό συνιστωσών και τα αντίστοιχα συστατικά τους είναι ίσα.

Τα διανυσματικά στοιχεία δεν μπορούν να εναλλάσσονται, π.χ. (3, 2, 5, 0, 1)και (2, 3, 5, 0, 1) διαφορετικά διανύσματα.
Πράξεις σε διανύσματα.δουλειά Χ= (x 1 , x 2 , ... ,x n) σε πραγματικό αριθμόλ που ονομάζεται διάνυσμαλ Χ= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

άθροισμαΧ= (x 1 , x 2 , ... ,x n) και y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) ονομάζεται διάνυσμα x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Ο χώρος των διανυσμάτων.Ν -διαστασιακό διανυσματικό χώρο RΤο n ορίζεται ως το σύνολο όλων των διανυσμάτων ν-διάστάσεων για τα οποία ορίζονται οι πράξεις του πολλαπλασιασμού με πραγματικούς αριθμούς και της πρόσθεσης.

Οικονομική εικονογράφηση. Μια οικονομική απεικόνιση ενός διανυσματικού χώρου n διαστάσεων: χώρο εμπορευμάτων (εμπορεύματα). Κάτω από εμπόρευμαθα καταλάβουμε κάποιο αγαθό ή υπηρεσία που κυκλοφόρησε σε μια συγκεκριμένη ώρα σε ένα συγκεκριμένο μέρος. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός διαθέσιμων αγαθών n; οι ποσότητες καθενός από αυτά που αγοράζονται από τον καταναλωτή χαρακτηρίζονται από ένα σύνολο αγαθών

Χ= (x 1 , x 2 , ..., x n),

όπου x i δηλώνει την ποσότητα του i-ου αγαθού που αγόρασε ο καταναλωτής. Θα υποθέσουμε ότι όλα τα αγαθά έχουν την ιδιότητα της αυθαίρετης διαιρετότητας, έτσι ώστε να μπορεί να αγοραστεί οποιαδήποτε μη αρνητική ποσότητα καθενός από αυτά. Τότε όλα τα πιθανά σύνολα αγαθών είναι διανύσματα του χώρου των αγαθών C = ( Χ= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Γραμμική ανεξαρτησία. Σύστημα μι 1 , μι 2 , ... , μι m διανύσματα n-διαστάσεων λέγονται γραμμικά εξαρτώμενηαν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοίλ 1 , λ 2 , ... , λ m , εκ των οποίων τουλάχιστον ένα είναι μη μηδενικό, το οποίο ικανοποιεί την ισότηταλ1 μι 1 + λ2 μι 2+...+λμ μι m = 0; διαφορετικά, αυτό το σύστημα διανυσμάτων ονομάζεται γραμμικά ανεξάρτητη, δηλαδή αυτή η ισότητα είναι δυνατή μόνο στην περίπτωση που όλα . Η γεωμετρική σημασία της γραμμικής εξάρτησης των διανυσμάτων σε R 3, που ερμηνεύονται ως κατευθυνόμενα τμήματα, εξηγήστε τα ακόλουθα θεωρήματα.

Θεώρημα 1. Ένα σύστημα που αποτελείται από ένα μόνο διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο αν αυτό το διάνυσμα είναι μηδέν.

Θεώρημα 2. Για να είναι δύο διανύσματα γραμμικά εξαρτώμενα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι συγγραμμικά (παράλληλα).

Θεώρημα 3 . Για να είναι τρία διανύσματα γραμμικά εξαρτημένα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι ομοεπίπεδα (που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο).

Αριστερή και δεξιά τριάδα διανυσμάτων. Ένα τριπλό μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων α, β, γπου ονομάζεται σωστά, αν ο παρατηρητής από την κοινή τους προέλευση παρακάμψει τα άκρα των διανυσμάτων α, β, γμε αυτή τη σειρά φαίνεται να προχωρά δεξιόστροφα. Σε διαφορετική περίπτωση α, β, γ -αριστερά τριπλό. Όλα τα δεξιά (ή τα αριστερά) τριπλάσια διανυσμάτων ονομάζονται εξίσου προσανατολισμένη.

Βάση και συντεταγμένες. Τρόϊκα μι 1, μι 2 , μι 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα σε R 3 κάλεσε βάση, και τα ίδια τα διανύσματα μι 1, μι 2 , μι 3 - βασικός. Οποιοδήποτε διάνυσμα έναμπορεί να επεκταθεί με μοναδικό τρόπο ως προς τα διανύσματα βάσης, δηλαδή μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή

ΕΝΑ= x 1 μι 1 + x2 μι 2 + x 3 μι 3, (1.1)

λέγονται οι αριθμοί x 1 , x 2 , x 3 στην επέκταση (1.1). συντεταγμένεςέναστη βάση μι 1, μι 2 , μι 3 και συμβολίζονται ένα(x 1 , x 2 , x 3).

Ορθοκανονική βάση. Αν οι φορείς μι 1, μι 2 , μι 3 είναι κατά ζεύγη κάθετα και το μήκος καθενός από αυτά είναι ίσο με ένα, τότε η βάση ονομάζεται ορθοκανονικήκαι οι συντεταγμένες x 1 , x 2 , x 3 - ορθογώνιος.Τα διανύσματα βάσης μιας ορθοκανονικής βάσης θα συμβολίζονται i, j, k.

Θα το υποθέσουμε στο διάστημα R 3 το σωστό σύστημα καρτεσιανών ορθογώνιων συντεταγμένων (0, i, j, k}.

Διανυσματικό προϊόν. διανυσματική τέχνη ΕΝΑανά διάνυσμα σιπου ονομάζεται διάνυσμα ντο, το οποίο καθορίζεται από τις ακόλουθες τρεις προϋποθέσεις:

1. Διάνυσμα μήκος ντοαριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που χτίζεται στα διανύσματα έναΚαι σι,δηλ.
ντο= |α||β|αμαρτία( ένα^σι).

2. Διάνυσμα ντοκάθετα σε καθένα από τα διανύσματα έναΚαι σι.

3. Διανύσματα ένα, σιΚαι ντο, που λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, σχηματίζουν ένα δεξιό τριπλό.

Για διανυσματικό προϊόν ντοεισάγεται ο χαρακτηρισμός c=[αβ] ή
γ = α × σι.

Αν οι φορείς έναΚαι σιείναι συγγραμμικές, τότε αμαρτία( α^β) = 0 και [ αβ] = 0, συγκεκριμένα, [ αα] = 0. Διανυσματικά προϊόντα ορτ: [ ij]=κ, [jk] = Εγώ, [κι]=ι.

Αν οι φορείς έναΚαι σιδίνεται στη βάση i, j, kσυντεταγμένες ένα(α 1, ένα 2, ένα 3), σι(b 1 , b 2 , b 3), τότε

Μικτή εργασία. Αν το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων ΕΝΑΚαι σιβαθμωτό πολλαπλασιασμένο με το τρίτο διάνυσμα ντο,τότε λέγεται ένα τέτοιο γινόμενο τριών διανυσμάτων ανάμεικτο προϊόνκαι συμβολίζεται με το σύμβολο ένα προ ΧΡΙΣΤΟΥ.

Αν οι φορείς α, βΚαι ντοστη βάση i, j, kορίζονται από τις συντεταγμένες τους
ένα(α 1, ένα 2, ένα 3), σι(b 1 , b 2 , b 3), ντο(c 1 , c 2 , c 3), τότε

.

Το μικτό γινόμενο έχει μια απλή γεωμετρική ερμηνεία - είναι μια βαθμωτή, σε απόλυτη τιμή ίση με τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε τρία δεδομένα διανύσματα.

Εάν τα διανύσματα σχηματίζουν ένα δεξιό τριπλό, τότε το μικτό γινόμενο τους είναι ένας θετικός αριθμός ίσος με τον υποδεικνυόμενο όγκο. αν οι τρεις α, β, γ -αριστερά, λοιπόν α β γ<0 и V = - α β γ, επομένως V =|α β γ|.

Οι συντεταγμένες των διανυσμάτων που συναντώνται στα προβλήματα του πρώτου κεφαλαίου υποτίθεται ότι δίνονται σε σχέση με τη σωστή ορθοκανονική βάση. Μοναδικό διάνυσμα συμκατευθυντικό σε διάνυσμα ΕΝΑ,που συμβολίζεται με το σύμβολο ΕΝΑΟ. Σύμβολο r=ΟΜσυμβολίζεται με το διάνυσμα ακτίνας του σημείου Μ, τα σύμβολα a, AB ή|α|, | ΑΒ |συμβολίζονται οι ενότητες των διανυσμάτων ΕΝΑΚαι ΑΒ.

Παράδειγμα 1.2. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ένα= 2Μ+4nΚαι σι= m-n, Οπου ΜΚαι n-μοναδιαία διανύσματα και γωνία μεταξύ ΜΚαι nίσο με 120 ο.

Λύση. Έχουμε: cos φ = αβ/ab, αβ=(2Μ+4n) (m-n) = 2Μ 2 - 4n 2 +2μν=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; α = ; ένα 2 = (2Μ+4n) (2Μ+4n) =
= 4Μ 2 +16μν+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, άρα a = . b= ; σι 2 =
= (m-n)(m-n) = Μ 2 -2μν+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, άρα b = . Τέλος έχουμε: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Παράδειγμα 1.3.Γνωρίζοντας διανύσματα ΑΒ(-3,-2,6) και προ ΧΡΙΣΤΟΥ(-2,4,4), υπολογίστε το ύψος ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση. Δηλώνοντας το εμβαδόν του τριγώνου ABC με S, παίρνουμε:
S = 1/2 π.Χ. μ.Χ. Επειτα AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| ΑΒ ×AC|. AC=AB+BC, άρα το διάνυσμα ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝέχει συντεταγμένες
. .

Παράδειγμα 1.4 . Δίνονται δύο διανύσματα ένα(11,10,2) και σι(4,0,3). Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα ντο,ορθογώνιο προς διανύσματα έναΚαι σικαι κατευθύνεται έτσι ώστε το διατεταγμένο τριπλό των διανυσμάτων α, β, γήταν σωστό.

Λύση.Ας υποδηλώσουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος ντοως προς τη δεδομένη ορθοκανονική βάση ως προς τα x, y, z.

Επειδή η ντο ⊥ μετα Χριστον ⊥σι, Οτι περ= 0, γβ= 0. Από την συνθήκη του προβλήματος απαιτείται c = 1 και α β γ >0.

Έχουμε ένα σύστημα εξισώσεων για την εύρεση x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Από την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος παίρνουμε z = -4/3 x, y = -5/6 x. Αντικαθιστώντας τα y και z στην τρίτη εξίσωση, θα έχουμε: x 2 = 36/125, από όπου
x=± . Συνθήκη χρήσης α β γ > 0, παίρνουμε την ανισότητα

Λαμβάνοντας υπόψη τις εκφράσεις των z και y, ξαναγράφουμε την ανισότητα που προκύπτει με τη μορφή: 625/6 x > 0, από όπου προκύπτει ότι x>0. Άρα x = , y = - , z = - .

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα μιας ευθείας γραμμής στον Ευκλείδειο χώρο, στο οποίο το ένα άκρο (σημείο Α) ονομάζεται αρχή του διανύσματος και το άλλο άκρο (σημείο Β) ονομάζεται τέλος του διανύσματος (Εικ. 1). Τα διανύσματα συμβολίζονται:

Αν η αρχή και το τέλος του διανύσματος είναι ίδια, τότε το διάνυσμα καλείται μηδενικό διάνυσμακαι συμβολίζεται 0 .

Παράδειγμα. Ας έχει συντεταγμένες η αρχή του διανύσματος στον δισδιάστατο χώρο ΕΝΑ(12,6) , και το τέλος του διανύσματος είναι οι συντεταγμένες σι(12.6). Τότε το διάνυσμα είναι μηδενικό διάνυσμα.

Μήκος κοπής ΑΒπου ονομάζεται μονάδα μέτρησης (μακρύς, ο κανόνας) διάνυσμα και συμβολίζεται με | ένα|. Ένα διάνυσμα μήκους ίσου με ένα ονομάζεται μονάδα διάνυσμα. Εκτός από το μέτρο, ένα διάνυσμα χαρακτηρίζεται από μια κατεύθυνση: ένα διάνυσμα έχει κατεύθυνση από ΕΝΑΠρος την σι. Ένα διάνυσμα ονομάζεται διάνυσμα, απεναντι αποδιάνυσμα .

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμικήαν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Στο Σχ. 3 κόκκινα διανύσματα είναι συγγραμμικά από τότε βρίσκονται στην ίδια ευθεία και τα μπλε διανύσματα είναι συγγραμμικά, γιατί βρίσκονται σε παράλληλες ευθείες. Καλούνται δύο συγγραμμικά διανύσματα εξίσου σκηνοθετημένοαν τα άκρα τους βρίσκονται στην ίδια πλευρά της γραμμής που ενώνει τις αρχές τους. Καλούνται δύο συγγραμμικά διανύσματα αντίθετες κατευθύνσειςαν τα άκρα τους βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της γραμμής ενώνοντας τις αρχές τους. Εάν δύο συγγραμμικά διανύσματα βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε ονομάζονται εξίσου κατευθυνόμενα εάν μία από τις ακτίνες που σχηματίζονται από το ένα διάνυσμα περιέχει πλήρως την ακτίνα που σχηματίζεται από το άλλο διάνυσμα. Διαφορετικά, τα διανύσματα ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενα. Στο σχήμα 3, τα μπλε διανύσματα είναι στην ίδια κατεύθυνση και τα κόκκινα διανύσματα είναι στην αντίθετη κατεύθυνση.

Τα δύο διανύσματα ονομάζονται ίσοςεάν έχουν ίσες ενότητες και είναι εξίσου κατευθυνόμενες. Στο Σχ.2, τα διανύσματα είναι ίσα επειδή οι συντελεστές τους είναι ίσοι και έχουν την ίδια κατεύθυνση.

Τα διανύσματα ονομάζονται ομοεπίπεδηαν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή σε παράλληλα επίπεδα.

ΣΕ nΣε ένα διανυσματικό χώρο, θεωρήστε το σύνολο όλων των διανυσμάτων των οποίων η αφετηρία συμπίπτει με την αρχή. Τότε το διάνυσμα μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

(1)

Οπου x 1 , x 2 , ..., x nδιανυσματικές συντεταγμένες τελικού σημείου Χ.

Το διάνυσμα που γράφεται με τη μορφή (1) ονομάζεται διάνυσμα σειράς, και το διάνυσμα γράφεται ως

(2)

που ονομάζεται διάνυσμα στήλης.

Αριθμός nπου ονομάζεται διάσταση (για να) διάνυσμα. Αν τότε καλείται το διάνυσμα μηδενικό διάνυσμα(γιατί το σημείο εκκίνησης του διανύσματος ). Δύο φορείς ΧΚαι yείναι ίσα αν και μόνο αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.

1) + = + - ανταλλαγή.

2) + (+ ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) () = () – συνειρμικότητα

6) (+) =  + - διανομή

7) ( + ) =  + 

8) 1 =

Ορισμός.

1) Βάσηστο χώρο ονομάζονται οποιαδήποτε 3 μη ομοεπίπεδα διανύσματα, λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά.

2) Βάσηστο επίπεδο υπάρχουν 2 μη γραμμικά διανύσματα που λαμβάνονται με συγκεκριμένη σειρά.

3)Βάσηοποιοδήποτε διάνυσμα μη μηδενικό καλείται στη γραμμή.

Ορισμός. Αν
- βάση στο χώρο και
, τότε καλούνται οι αριθμοί ,  και  εξαρτήματα ή συντεταγμένεςδιάνυσμα σε αυτή τη βάση.

Ως προς αυτό, μπορούμε να γράψουμε τα εξής ιδιότητες:

ίσα διανύσματα έχουν τις ίδιες συντεταγμένες,

όταν ένα διάνυσμα πολλαπλασιάζεται με έναν αριθμό, τα συστατικά του πολλαπλασιάζονται επίσης με αυτόν τον αριθμό,

όταν προστίθενται διανύσματα, προστίθενται και τα αντίστοιχα συστατικά τους.

;
;

+ = .

Γραμμική εξάρτηση διανυσμάτων.

Ορισμός. Διανύσματα
που ονομάζεται γραμμικά εξαρτώμενη, αν υπάρχει τέτοιος γραμμικός συνδυασμός , όταν το  i δεν ισούται ταυτόχρονα με το μηδέν, δηλ.
.

Αν μόνο όταν είναι αληθές  i = 0, τότε τα διανύσματα ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα.

Ιδιοκτησία 1. Αν μεταξύ των διανυσμάτων είναι μηδενικό διάνυσμα, τότε αυτά τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Ιδιοκτησία 2. Εάν προστεθούν ένα ή περισσότερα διανύσματα στο σύστημα των γραμμικά εξαρτημένων διανυσμάτων, τότε το προκύπτον σύστημα θα είναι επίσης γραμμικά εξαρτώμενο.

Ιδιοκτησία 3. Ένα σύστημα διανυσμάτων εξαρτάται γραμμικά αν και μόνο εάν ένα από τα διανύσματα αποσυντίθεται σε γραμμικό συνδυασμό των άλλων διανυσμάτων.

Ιδιοκτησία 4. Οποιαδήποτε 2 συγγραμμικά διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά και αντιστρόφως οποιαδήποτε 2 γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι συγγραμμικά.

Ιδιοκτησία 5. Οποιαδήποτε 3 συνεπίπεδα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτώμενα και, αντιστρόφως, οποιαδήποτε 3 γραμμικά εξαρτώμενα διανύσματα είναι ομοεπίπεδα.

Ιδιοκτησία 6. Οποιαδήποτε 4 διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

Σύστημα συντεταγμένων.

Μπορούν να χρησιμοποιηθούν διάφορα συστήματα συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός αυθαίρετου σημείου. Η θέση ενός αυθαίρετου σημείου σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων πρέπει να προσδιορίζεται μοναδικά. Η έννοια του συστήματος συντεταγμένων είναι ένας συνδυασμός ενός σημείου αναφοράς (η προέλευση των συντεταγμένων) και κάποιας βάσης. Τόσο στο επίπεδο όσο και στο διάστημα, είναι δυνατό να ρυθμίσετε μια μεγάλη ποικιλία συστημάτων συντεταγμένων. Η επιλογή ενός συστήματος συντεταγμένων εξαρτάται από τη φύση της γεωμετρικής, φυσικής ή τεχνικής εργασίας. Εξετάστε μερικά από τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα συστήματα συντεταγμένων στην πράξη.

Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Καθορίζουμε ένα σημείο Ο στο διάστημα και θεωρούμε ένα αυθαίρετο σημείο Μ.

Διάνυσμα
ονομάζουμε διάνυσμα ακτίνας του σημείου Μ. Αν οριστεί μια συγκεκριμένη βάση στο χώρο, τότε το σημείο Μ μπορεί να συσχετιστεί με ένα συγκεκριμένο τριπλό αριθμών - συνιστωσών του διανύσματος ακτίνας του.

Ορισμός. Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένωνστο χώρο ονομάζεται το σύνολο ενός σημείου και μιας βάσης. Το σημείο λέγεται προέλευση. Οι γραμμές που διέρχονται από την αρχή ονομάζονται άξονες συντεταγμένων.

1ος άξονας - άξονας τετμημένη

2ος άξονας - άξονας τεταγμένη

3ος άξονας - άξονας απλικέ

Για να βρείτε τα συστατικά ενός διανύσματος, πρέπει να αφαιρέσετε τις συντεταγμένες της αρχής από τις συντεταγμένες του τέλους του.

Αν δίνονται τα σημεία A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2), τότε
\u003d (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1).

Ορισμός. Η βάση ονομάζεται ορθοκανονικήαν τα διανύσματά του είναι κατά ζεύγη ορθογώνια και ίσα με ένα.

Ορισμός. Ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του οποίου η βάση είναι ορθοκανονική ονομάζεται Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

Παράδειγμα.Δεδομένα διανύσματα (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) και (3; 2; 2) σε κάποια βάση. Δείξτε ότι τα διανύσματα , Και σχηματίστε βάση και βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος σε αυτή τη βάση.

Τα διανύσματα αποτελούν τη βάση εάν είναι γραμμικά ανεξάρτητα, με άλλα λόγια, εάν οι εξισώσεις που περιλαμβάνονται στο σύστημα:

είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Επειτα
.

Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται εάν η ορίζουσα μήτρας συστήματος είναι μη μηδενική.

Για να λύσουμε αυτό το σύστημα, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο Cramer.

;

 3 =

Σύνολο, διανυσματικές συντεταγμένες στη βάση , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Όταν χρησιμοποιείτε την έκδοση για υπολογιστή του " Μάθημα ανώτερων μαθηματικών” μπορείτε να εκτελέσετε ένα πρόγραμμα που θα σας επιτρέψει να επεκτείνετε οποιοδήποτε διάνυσμα σε οποιαδήποτε νέα βάση, π.χ. λύστε το προηγούμενο παράδειγμα για τυχόν διανύσματα , , , .

Κάντε διπλό κλικ στο εικονίδιο για να ξεκινήσει το πρόγραμμα:

Στο παράθυρο του προγράμματος που ανοίγει, εισάγετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και πατήστε Enter.

Σημείωση: Για να εκτελέσετε το πρόγραμμα, πρέπει να έχετε εγκατεστημένο το Maple ( Waterloo Maple Inc.) στον υπολογιστή σας, οποιαδήποτε έκδοση ξεκινά με το MapleV Release 4.

Μήκος του διανύσματος σε συντεταγμένεςορίζεται ως η απόσταση μεταξύ του σημείου έναρξης και του τέλους του διανύσματος. Αν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), τότε .

Αν το σημείο M(x, y, z) διαιρεί το τμήμα ΑΒ στην αναλογία /  , μετρώντας από το Α, τότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου ορίζονται ως:

Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, οι συντεταγμένες στο μέσο του τμήματοςβρίσκονται όπως:

x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.